Вид годографа для среды с однородной функцией скорости нулевой степени

Покажем теперь, что в случае, если скорость есть кусочно-непрерывная возрастающая функция полярного угла α,- годограф тоже является выпуклой кривой. Рассмотрим это подробнее.

Рис. 4.18.

В средах, где скорость волн есть однородная функция двух координат - лучи имеют параметр. Выражение для параметра:

для нашего случая m=0, t= τ, r= ρ, V= ξ, имеем для годографов на поверхности среды (рис. 42):

, где i_{b -} угол выхода луча на поверхность среды,

.

Так как по закону Бендорфа

продифференцируем по ρ:

В случае прямых ветвей - годограф выпуклый, в случае обратных - вогнутый. Если угол входа лучей i ₀ убывает с увеличением расстояния ρ по годографу - ветвь прямая и она выпуклая (∂²τ/∂ρ²)< 0, ∂τ/∂ρ-убывает - V^*- возрастает, ветвь выпуклая). Если с увеличением расстояния ρ угол i ₀ возрастает, то ветвь обратная. Если ∂²τ/∂ρ²>0, то ∂τ/∂ρ возрастает, V^* -как обратная функция к ∂τ/∂ρ - убывает и ветвь годографа вогнутая.

Мы рассматриваем эти величины в точках, где годограф имеет вторую производную. Если скорость, как мы предполагаем, непрерывная возрастающая функция, то годограф - непрерывная дифференцируемая кривая, следовательно, эта кривая выпуклая.

4.3.6 Алгоритм численного восстановления функции полярного угла ξ=ξ(α)по годографу τ(ρ).

Итак, прежде чем находить скорость ξ= ξ(α) по вычисленному годографу, этот годограф должен быть аппроксимирован выпуклой кривой. Искомую непрерывную возрастающую функцию ξ= ξ(α) заменим кусочно-постоянной функцией вида, описывающей множество слоев с постоянной скоростью.

,

.

Рис. 4.19.

Тогда сейсмическая среда будет выглядеть как на рис.38, так как функция полярного угла, то элементарные слои - это некоторые клиновидные слои с постоянной скоростью ξ= ξ _i. (рис.43)

Годограф первых волн в такой среде есть ломаная линия, состоящая из прямолинейных годографов головных волн. Если число слоёв устремить к бесконечности, а скачки скорости на границах к нулю, то в пределе получим искомую функцию ξ= ξ(α). Мы будем считать, что в среде столько слоёв сколько точек на годографе τ(ρ). Если годограф задан дискретно: , то в среде n слоёв. Лучи будем отмечать индексом к, границы элементарных слоёв разреза индексами: . Угловые мощности слоёв будем обозначать σ_l. На каждой элементарной границе раздела лучи испытывают преломление и при падении волны на границу под критическим углом возникает головная волна. Будем рисовать только лучи отразившиеся от границ под критическим углом, то есть будем считать, что годограф состоит из начальных точек головных волн (рис.43).

Углы выхода лучей из слоя l обозначим буквой β_kl, углы входа в слой l обозначим δ_kl, критические углы γ _l.. Скорость в верхнем слое определяется по формуле:

Чтобы определить углы выхода лучей продифференцируем годограф τ(ρ) в точках ρ= ρ _к:

Углы входа луча найдём, используя выражение для параметра луча:

Для нашей задачи имеем, так как мы рассматриваем точки на поверхности среды:

отсюда

Мы нашли углы входа δ _ok и выхода β _ok для всех лучей. Обозначим σ _i - угловые мощности элементарных слоёв.

Рассмотрим DKОВ. Запишем сумму углов этого треугольника:

(57)

Для треугольника KAВ сумма углов выражается формулой:

(58)

сложим (46) и (47), получим: 2 σ ₁+ δ _01-- β ₀₁ =0; отсюда

Вычтем из выражения (57) выражение 58) и получим:

Итак, мы нашли угловую мощность первого слоя σ ₁ и скорость во втором слое ξ_{1 .} Будем использовать рекурсивный способ решения задачи. Все лучи выходящие на поверхность среды продолжим теперь на первый уровень l =1. Вычислим углы выхода лучей на границу l =1 и углы входа лучей в слой со скоростью ξ=ξ ₁

Для этого введём углы падения на границу l =1:

Рассмотрим DОКC. Сумма углов этого треугольника равна:

Из треугольника DКМE получим:

Запишем закон преломления на границе l= 1:

Мы нашли углы входа и выхода всех лучей для второго слоя. Далее процесс повторяется, мощность второго слоя:

Далее повторяя этот процесс до последнего слоя, находим таблицу значений

...............................

...............................

Итак, мы определили функцию x (a). Вернемся к старым координатам:

При вычислении функции x(a) мы вычисляли и лучи. Последний луч, соединяющий точки источников необходимо запомнить, чтобы ограничить область разреза, где скоростное поле отвечает найденной функции.

4.4. Локальная аппроксимация скоростного поля однородными функциями. Метод однородных функций – аналог метода ОГТ для преломленных волн

Назовем скоростное поле, рассчитанное для некоторой пары встречных годографов внутри граничного луча, локальным полем скорости. При сложной системе годографов скоростной разрез строится с помощью суперпозиции локальных скоростных полей по системе приоритетов или категорий. Пусть система годографов состоит из нескольких пар встречных и нагоняющих годографов и, например, такова как показано на рисунке 44.

Локальным полям скорости, рассчитанным для самых коротких пар годографов, отдается наивысший приоритет или присваивается значение категории 1. Эти локальные поля всегда присутствуют на разрезе, вследствие того, что они наиболее детально аппроксимируют разрез. Напомним, что однородная функция изменяется по радиальной координате как степенная функция, то есть монотонно и значит, чем короче база аппроксимации по горизонтали, тем детальнее может быть восстановлен разрез. Локальные поля скорости, отвечающие более длинным расстановкам, - категория 2 – присутствуют только в тех частях разреза, где отсутствуют значения скорости, отвечающие локальным скоростным полям с меньшим значением категории. В точках пересечения локальных скоростных полей с одинаковым значением категории вычисляется среднеарифметическое значение скорости.

Рис.4.20. Формирование поля скорости из локальных скоростных полей. Цифры указывают значение категории. На разрез попадают значения скорости, отвечающие локальным скоростным полям с меньшим значением категории

Вычисленная локальная скоростная функция есть, в сущности, двухмерная скоростная однородная функция наилучшим образом аппроксимирующая реальный скоростной разрез. Иными словами, это эффективная двухмерная скоростная функция. Она подобна эффективной постоянной скорости, вычисляемой по годографу отраженной волны. В последнем случае мы аппроксимируем годограф отраженной волны гиперболой, а затем по этой гиперболе вычисляем постоянную скорость.

Построение общего скоростного разреза по локальным двухмерным скоростным функциям производится аналогично построению временного разреза в методе ОГТ в сейсмике отраженных волн. Пусть мы имеем множество годографов первых волн. Мы находим эффективную двухмерную скоростную функцию для каждой пары встречных годографов независимо друг от друга.

Лучи для двух встречных годографов первых волн заполняют область, ограниченную лучом, проходящим через источники. Если предполагать, что скоростная функция непрерывно увеличивается с глубиной, то близкие лучи не пересекаются между собой. Это означает, что семейство лучей регулярно. В этом случае точки поворота лучей расположены, как показано на рис.4.21. Видно, что точки поворота концентрируются в наиболее глубокой области локального скоростного поля. Лучи фокусируются в этой области и скорости здесь определены с наилучшей точностью

.

Рис. 4.21. Вид лучей для двух встречных годографов

Определение общего скоростного разреза для сложной системы годографов производится методом суперпозиции локальных эффективных скоростных полей, вычисленных для различных пар встречных годографов, как показано на рис. 43. В результате такой суперпозиции на разрезе остаются только самые глубокие (наиболее точные) части скоростных полей. Глубинные части скоростных полей можно назвать общей глубинной зоной по аналогии с общей глубинной точкой в сейсмике отраженных волн. Потому что здесь фокусируются сейсмические лучи.

Аналогия с методом ОГТ не является абсолютной. Построение разреза производится на глубинной плоскости. Эффективная скоростная функция является двухмерной, поэтому снос определяется автоматически. Это показано на рис. 46, где изображен сдвиг общей глубиннй зоны от центра расстановки. Высокочастотные изменения скорости в верхней части разреза сглаживаются в процессе вычисления скоростной аппроксимации, поэтому статические поправки, как правило, не вводятся. Окончательный скоростной разрез включает сейсмические границы, поэтому он может рассматриваться как макро модель разреза.

Волноводы в разрезе не могут существовать внутри локальных скоростных функций, но только на их границах, В то время как другие сейсмические границы могут располагаться и внутри локальных скоростных полей. Следовательно, для того чтобы вычислять волноводы, нужна более детальная система наблюдений.

Рис. 4.22. Построение общего скоростного разреза методом однородных функций (внизу) аналогично построению временного разреза ОГТ (вверху)

Скорости различных локальных скоростных полей в точках, где эти поля перекрываются друг с другом, мало отличаются друг от друга, так как обратная задача на множестве однородных функций устойчива. Отклонение различных локальных скоростей в общих точках разреза характеризует погрешность вычисления скоростей в разрезе.

Окончательный скоростной разрез визуализируется как сеточная модель, когда скорости вычисляются в узлах заданной прямоугольной сетки. Выбирая размер сетки, мы только определяем форму визуализации множества локальных скоростных функции, которые уже вычислены ранее

Границы первого рода в представлении в виде поля изолиний скорости выглядят как протяженные области сгущения изолиний скорости, мощности таких областей равны размеру сетки. Границы второго рода в случае сеточного представления поля скорости представляют собой линии, где резко изменяется градиент скорости (расстояние между изолиниями). Инверсионные границы раздела, где скорость уменьшается сверху вниз при переходе через сейсмическую границу, также определяются методом однородных функций. На разрезе они выглядят как переходные зоны мощностью равной размеру сетки..

Размер сетки для визуализации разреза не может быть выбран произвольно. Если использовать маленький шаг сетки, меньший, чем погрешность измерения скорости, то будут видны границы локальных скоростных полей. А если выбрать очень большой шаг, то будет невозможно проследить сейсмические границы. Это означает, что размер сетки определяет разрешенность разреза. Различные трансформации окончательного скоростного поля (градиент скорости, составляющие градиента и т.д.) можно использовать, чтобы выделить особенности разреза.

Реальность разреза полученного методом однородных функций подтверждается вычислением теоретических времен, которые всегда хорошо согласуются с наблюденными. Вычисленные лучи обычно проникают на полную глубину разреза.

глава 5

Дата добавления: 2014-01-07