Лекция 1. 3. Вещество земной коры

Задачи с экономическим содержанием

Пусть Q - количество реализованной продукции, R(Q) - функция дохода, C(Q) - функция затрат на производство продукции. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п. Прибыль от реализации произведенной продукции находим по формуле:

H(Q)=R(Q)-C(Q).

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Т.к. предельные показатели равны производной функции, то этот принцип можно записать в виде R ¢ (Q)=C¢ (Q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции H(Q) следует, что H ¢ (Q) =0, откуда и получается приведенный ранее основной принцип.

Пример: Пусть доход от реализации товара R=PQ,, где Q – количество единиц произведенного товара; P - его цена, причем P зависит от Q: P=P(Q) =1000-0,2 Q. Затраты на производство товара составляют C= 200+2 Q. Определите, при каком объёме выпуска продукции Q прибыль H=R-C будет максимальной.

Подставим выражения для R и C в формулу прибыли:

. Найдем критические точки:

Убедимся, что в этой точке прибыль будет максимальной: при Q< 2495 производная H¢ >0, при Q >2495 производная H¢ <0. Следовательно, при переходе через точку Q =2495 производная меняет свой знак с «+» на «-», т.е. функция Н достигает в этой точке своего максимума.

Т.о., максимальная прибыль будет получена при объёме выпуска продукции в 2495 единиц.

Пример: Производитель реализует свою продукцию по цене p за единицу, а издержки при этом задаются зависимостью . Найти оптимальный для производителя объём выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Обозначим объём выпускаемой продукции х. Составим функцию прибыли , где px – доход от реализуемой продукции.

1. Находим .

2. Находим критические точки: =0, откуда не рассматриваем по смыслу задачи.

3. Находим и определяем знак 2-ой производной при : ()<0 (в данном случае при любом х >0), следовательно, при прибыль С(х) максимальна.

4. Находим максимум функции (т.е. максимальный размер прибыли)

Пример: Капитал в 1 млрд.рублей может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в p %. При каких значениях p вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?

Пусть х (млрд.руб.) инвестируется в производство, а 1- х – размещается под проценты. Тогда размещенный капитал через год станет равным , а капитал, вложенный в производство: . Издержки составят , т.е. прибыль от вложения в производство . Налоги составят т.е. чистая прибыль окажется равной

Общая сумма через год составит: , и тебуется нати максимальное значение этой функции на отрезке [0;1].

Имеем , т.е. согласно 2-му достаточному условию экстремума - точка максимума.

Чтобы принадлежало отрезку [0;1], необходимо выполнение условия .

Т.о., если p> 25, то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. Если p< 25, то можно показать, что при х=

,

Т.е. вложение в производство является более выгодным, чем чистое размещение под проценты.

Дата добавления: 2014-01-07