Примеры. · (— функция, сохраняющая все элементы множества X, биективна на этом множестве.)

· (— функция, сохраняющая все элементы множества X, биективна на этом множестве.)

· — биективные функции из в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией.

· f (x) = e^x — биективная функция в . Но если её рассматривать как функцию в , то она уже не будет биективной (у нуля и отрицательных чисел не будет прообразов).

· f (x) = sin x не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .

· Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция такая, что и .

· Если функции f и g биективны, то и композиция функций биективна, в этом случае . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, что f инъективна, а g сюръективна.

Можно определить новую функцию:

f^-1:B→A, x=f^-1(y) – обратная функция, относительно f.

Примеры.

1) f(x)=e^x (график)

f:(-∞;+∞)→(0;+∞) f^-1: (0;+∞)→(-∞;+∞)

e^x=y x=ln y. f^-1=ln x

2) y=x² (график)

f:(-∞;+∞)→[0;+∞)

Функция не является (не является инъекцией) взаимно однозначной.

Рассмотрим только одну ветвь f: [0;+∞)→[0;+∞)

x²=y x= f^-1(x)=

Любая строго монотонная функция имеет обратную (т.к. является взаимно однозначной).

Дата добавления: 2014-01-07