Предельный переход в неравенствах

Лемма. Даны сходящиеся последовательности {x_n}и {у_n} и =а, =b. Если a>b, то (т.е. конечное число членов последовательности на сходимость не влияют).

Доказательство. Возьмем число >0, т.к. a>b.

По условию =a, значит, взятому e>0 отвечает номер N₁ такой, что , т.е. a-e<x_n<a+e

В частности, x_n>a-e=. Т.о. x_n>, если

По условию =b, значит, взятому e>0 отвечает номер N₂ такой, что , т.е. b-e<y_n<b+e

В частности, y_n<b+e=

Т.о. y_n<, если

Положим N=max(N₁,N₂), тогдабудут выполняться оба неравенства:

x_n>и y_n<. Следовательно, при . Ч.т.д.

Теорема 1 (о единственности предела). Сходящаяся последовательность не может иметь более 1 предела.

Доказательство 1. Допустим противное: x_n→a и x_n→b a≠b

Пусть, например a<b. Тогда по лемме найдется номер N такой, что при n>N будет: x_n<x_n – чего быть не может. Ч.т.д.

Доказательство 2. Рассмотрим окрестности точек a и b такие, что V(a)ÇV(b)=Æ.

Т.к. x_n→a, то

Т.к. x_n→b, то

Тогда N=max(N₁,N₂): чего быть не может, т.к. V(a)ÇV(b)=Æ

Следовательно a=b. Ч.т.д.

Теорема 2 (о предельном переходе в неравенствах). Если =а, =b и начиная с некоторого номера N выполнено одно из условий:

x_n£y_n или x_n<y_n для всех n³N, тогда a£b.

Доказательство. Допустим противное, т.е. a>b, тогда по лемме найдется такой номер (можно считать, что >N) такой, что x_n>y_n. Получили противоречие. Следовательно, теорема доказана. Ч.т.д.

Таким образом, в неравенствах можно осуществлять предельный переход.

Пример. x_n= -, y_n=. x_n<y_n – строгое неравенство.

Однако, x_n→0,n→¥, y_n→0,n→¥ (=(-1)×=0), т.е. =-нестрогое нер-во.

Следствие. Если {x_n} – сходящаяся последовательность и начиная с некоторого номера N выполняется одно из неравенств 1) x_n<c или 2) x_n£c , то .

(Аналогично, если 1) x_n>c или 2) x_n³c , то ).

Доказательство. Следует из теоремы 2 при {у_n} – постоянная последовательность, у_n=с.

Теорема 3 (о пределе промежуточной последовательности, принцип «двух милиционеров (полицейских)»).

Пусть даны три числовые последовательности {x_n}, {у_n}, {z_n} и пусть начиная с некоторого номера N, т.е. x_n£y_n£z_n, тогда, если последовательности {x_n} и {z_n} стремятся к одному и тому же конечному пределу а, то и {у_n} стремится к этому же пределу.

Доказательство. Возьмем e>0 – любое сколь угодно малое – и рассмотрим e- окрестность точки а.

Т.к. x_n→а, n→¥, значит взятому e>0 отвечает номер N₁ такой, что , т.е. a-e<x_n<a+e

В частности, x_n>a-e.

По условию z_n→а, n→¥, значит, взятому e>0 отвечает номер N₂ такой, что , т.е. а-e<z_n<а+e

В частности, z_n<a+e

Положим =max(N,N₁,N₂), тогдабудут выполняться оба неравенства, т.е

a-e<x_n£y_n£z_n<a+e

Следовательно, при a-e<y_n<a+e, т.е. а= Ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-07