Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Предельный переход в неравенствах




Лемма. Даны сходящиеся последовательности {xn}и {уn} и =а, =b. Если a>b, то (т.е. конечное число членов последовательности на сходимость не влияют).

Доказательство. Возьмем число >0, т.к. a>b.

По условию =a, значит, взятому e>0 отвечает номер N1 такой, что , т.е. a-e<xn<a+e

В частности, xn>a-e=. Т.о. xn>, если

По условию =b, значит, взятому e>0 отвечает номер N2 такой, что , т.е. b-e<yn<b+e

В частности, yn<b+e=

Т.о. yn<, если

Положим N=max(N1,N2), тогдабудут выполняться оба неравенства:

xn>и yn<. Следовательно, при . Ч.т.д.

Теорема 1 (о единственности предела). Сходящаяся последовательность не может иметь более 1 предела.

Доказательство 1. Допустим противное: xn→a и xn→b a≠b

Пусть, например a<b. Тогда по лемме найдется номер N такой, что при n>N будет: xn<xn – чего быть не может. Ч.т.д.

Доказательство 2. Рассмотрим окрестности точек a и b такие, что V(a)ÇV(b)=Æ.

Т.к. xn→a, то

Т.к. xn→b, то

Тогда N=max(N1,N2): чего быть не может, т.к. V(a)ÇV(b)=Æ

Следовательно a=b. Ч.т.д.

Теорема 2 (о предельном переходе в неравенствах). Если =а, =b и начиная с некоторого номера N выполнено одно из условий:

xn£yn или xn<yn для всех n³N, тогда a£b.

Доказательство. Допустим противное, т.е. a>b, тогда по лемме найдется такой номер (можно считать, что >N) такой, что xn>yn. Получили противоречие. Следовательно, теорема доказана. Ч.т.д.

Таким образом, в неравенствах можно осуществлять предельный переход.

Пример. xn= -, yn=. xn<yn – строгое неравенство.

Однако, xn→0,n→¥, yn→0,n→¥ (=(-1)×=0), т.е. =-нестрогое нер-во.

Следствие. Если {xn} – сходящаяся последовательность и начиная с некоторого номера N выполняется одно из неравенств 1) xn<c или 2) xn£c , то .

(Аналогично, если 1) xn>c или 2) xn³c , то ).

Доказательство. Следует из теоремы 2 при {уn} – постоянная последовательность, уn=с.

Теорема 3 (о пределе промежуточной последовательности, принцип «двух милиционеров (полицейских)»).

Пусть даны три числовые последовательности {xn}, {уn}, {zn} и пусть начиная с некоторого номера N, т.е. xn£yn£zn, тогда, если последовательности {xn} и {zn} стремятся к одному и тому же конечному пределу а, то и {уn} стремится к этому же пределу.

Доказательство. Возьмем e>0 – любое сколь угодно малое – и рассмотрим e- окрестность точки а.

Т.к. xn→а, n→¥, значит взятому e>0 отвечает номер N1 такой, что , т.е. a-e<xn<a+e

В частности, xn>a-e.

По условию zn→а, n→¥, значит, взятому e>0 отвечает номер N2 такой, что , т.е. а-e<zn<а+e

В частности, zn<a+e

Положим =max(N,N1,N2), тогдабудут выполняться оба неравенства, т.е

a-e<xn£yn£zn<a+e

Следовательно, при a-e<yn<a+e, т.е. а= Ч.т.д.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1788; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.