Основные свойства б.м. последовательностей

Свойство 1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.

Доказательство. (Докажем для суммы 3-х б.м. величин. В др. случаях доказательство аналогично).

Пусть a_n,b_n,g_n – б.м. последовательности при n→¥. Докажем, что (a_n+b_n+g_n) – также б.м. последовательность.

Возьмем произвольное сколь угодно малое число e>0.

По условию a_n – б.м. последовательность. Следовательно, по числу можно указать номер N₁ такой, что все значения a_n, у которых номер n>N₁, удовлетворяют неравенству .

Так как b_n и g_n – б.м. последовательности, то по тому же числу можно указать номера N₂ и N₃ такие, что при n>N₂ и при n>N₃.

Положим N=max{N₁,N₂,N₃}. Тогда при n>N будут выполняться все 3 неравенства. Тогда , т.е. (a_n+b_n+g_n) – б.м. ч.т.д.

Свойство 2. Произведение ограниченной последовательности х_n на бесконечно малую последовательность a_n - есть б.м. последовательность.

Доказательство. По условию х_n – ограниченная, т.е.

Возьмем e>0 – сколь угодно малое. Т.к. a_n - б.м., то .

Т.к. ,то при n>N будет , т.е. х_n× a_n -б.м. ч.т.д.

Лемма. Если все члены последовательности {x_n} отличны от 0 и если x_n→а, n→¥, где а≠0, то - ограниченная последовательность.

Доказательство. Т.к. а≠0, то

Положим e=. Т.к. =а, то взятому отвечает номер

Имеем

Тогда при n>N будет , а значит

Положим С=

Тогда при всех nÎN , т.е. - ограниченная последовательность. Ч.т.д.

Свойство 3. Пусть a_n - есть б.м. последовательность при n→¥. Пусть все члены последовательности {x_n} отличны от 0 и x_n→a, n→¥, где a≠0. Тогда - б.м. последовательность.

Доказательство. По лемме последовательность - ограниченная.

Имеем =×a_n, т.е. - представляет собой произведение ограниченной последовательности на б.м. Тогда по свойству 2 - - б.м. ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-07