Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями

Свойство 2. Если все значения x_n≠0 и если {x_n} - б.б. при n→¥, то последовательность - б.м. при n→¥.

Доказательство. Возьмем сколь угодно малое e>0. Т.к. x_n – б.б. величина при n→¥, то по сколь угодно большому числу М=>0 можно указать номер N такой, что при n>N будет , т.е. , если n>N.

Тогда при n>N будет , а значит , если n>N. А это значит, что - б.м. при n→¥. Ч.т.д.

Свойство 3. Если все значения a_n≠0 и если {a_n} - б.м. при n→¥, то последовательность - б.б. при n→¥.

Доказательство. Возьмем произвольное сколь угодно большое число М>0.

Т.к. {a_n} - б.м. при n→¥, то любому сколь угодно малому числу e>0 (в частности числу e=>0) отвечает номер N такой, что при n>N будет

, т.е. , если n>N

Но тогда при n>N будет , а значит , если n>N. Что и означает, что последовательность - б.б. при n→¥. Ч.т.д.

Арифметические свойства предела. (Бесконечно большие последовательности и арифметические операции)

1. Если x_n→a, y_n→+¥(-¥) при n→¥ x_n+y_n→+¥ (-¥)

Если x_n→+¥(-¥), y_n→+¥(-¥) при n→¥ x_n+y_n→+¥ (-¥)

Если x_n→+¥(-¥), y_n→+¥(-¥) при n→¥ x_n-y_n – неопределенность вида [¥ -¥]

Примеры. 1) x_n=n→+¥, y_n=n+→+¥, y_n-x_n=→0

2) x_n=n→+¥, y_n=2n→+¥, y_n-x_n=n→¥

3) x_n=n+5→+¥, y_n=-n→-¥, y_n+x_n=5→5

4) x_n=n+(-1)ⁿ→+¥, y_n=-n→-¥, y_n+x_n=(-1)ⁿ – предела не существует

2. Если x_n→a, y_n→+¥(-¥) при n→¥ x_n×y_n→

Если x_n→+¥(-¥), y_n→+¥(-¥) при n→¥ x_n×y_n→+¥

Если x_n→+¥, y_n→-¥ при n→¥ x_n×y_n→-¥

Если x_n→0, y_n→+¥(-¥) при n→¥ x_n×y_n- неопределенность

Примеры. 1) x_n=→0, y_n=n→+¥, y_n×x_n=1→1

2) x_n=→0, y_n=n→+¥, y_n×x_n=→0

3) x_n=→0, y_n=n→¥, y_n×x_n=(-1)ⁿ - предел не существует

3. Последовательность {x_n} – ограничена, y_n→+¥(-¥)

Если x_n→+¥(-¥), y_n→+¥(-¥) при n→¥ неопределенность вида

Если x_n→0, y_n→0 при n→¥ неопределенность вида

Примеры. 1) x_n=→0, y_n=→0, =→0

2) x_n=→0, y_n=→0, =(-1)ⁿ предел не существует

4) x_n=2n→+¥, y_n=n→+¥, =2→2

3) x_n=(3+(-1)ⁿ)×n→¥, y_n=n→+¥, =3+(-1)ⁿ – предел не существует.×

Примеры на нахождение пределов (с.51)

Дата добавления: 2014-01-07