Учет неоднородности поперечного распределения поля. Коэффициент перекрытия

Вероятности индуцированного испускания W_и = s_и F и поглощения W_п = s_п F пропорциональны плотности потока фотонов F или иначе интенсивности излучения I = F hn. В поперечном сечении волокна вероятности индуцированных переходов получаются разными, так как интенсивность основной моды в этом сечении не постоянна. Поэтому при расчетах характеристик волоконного усилителя необходимо проводить интегрирование не только по продольной координате в волокна, но по поперечным координатам.

Поскольку поперечное сечение не изменяется в продольном направлении, то для оценки вероятности индуцированных переходов можно ввести эффективную интенсивность и в дальнейшем использовать формулы, полученные в приближении плоских волн. Эффективная интенсивность связана со средней интенсивностью следующим выражением:

где – коэффициент перекрытия поля моды и распределения активных частиц, –

связывающую можно использовать следующую формулу, интегрирование по поперечным координатам можно исключить, используя среднее по поперечному сечению значение интенсивности. Оно выражается через оптическую мощность Р соотношением

<I> = Г Р/(pR²), (3)

где Г Р – доля мощности распространяющейся в участке сердцевины волокна легированной эрбием, R – эффективный радиус этого участка, Г – коэффициент перекрытия этого участка с основной модой волокна. Как видно из (3) средняя интенсивность получается тем больше, чем больше коэффициент перекрытия и чем меньше площадь поперечного сечения распределения ионов эрбия. Поэтому в оптических усилителях используются волокна с малой площадью модового пятна и, соответственно, с большой числовой апертурой.
Усредненные по поперечному сечению волокна вероятности индуцированных переходов с помощью (3) записываются в виде

<W_и> = s_и<I>/hn = Гs_иР/(pR²hn) (4)

<W_п> = s_п<I>/hn = Гs_пР/(pR²hn)

Таким образом, с помощью коэффициента перекрытия Г учитывается неоднородность распределения оптической мощности в поперечном сечении волокна.

Одним из преимуществ волоконного эрбиевого усилителя является высокая эффективность использования излучения накачки. Достигается это за счет большой длины активного волокна (до нескольких десятков метров), и почти полного совпадения объемов, занимаемых ионами эрбия и основной модой волокна. Коэффициент перекрытия этих объемов равен доли мощности излучения проходящей через площадь поперечного сечения (p R2) распределения ионов эрбия в сердцевине волокна (рис. 4а) [4, 5].

В приближении, когда функция распределения ионов эрбия имеет ступенчатую форму, а распределение интенсивности основной моды волокна аппроксимируется функцией Гаусса (I(r) = (1/pw²) exp[- r²/w²]), выражение для коэффициента перекрытия представляется в виде [3]

Г = 1 – exp[- R²/w²], (1)

где w – радиус модового пятна. При R << w, как видно из (1) коэффициент перекрытия равен отношению площади сердцевины к площади модового пятна: Г @ p R²/(pw²). Он получается тем больше, чем большая часть моды содержится в сердцевине волокна.

Зависимость коэффициента перекрытия от длины волны излучения и числовой апертуры волокна определяется зависимостью радиуса модового пятна w от параметра волокна V = (2p/l) R NA и может быть рассчитана с помощью формулы: w/R = 0.65 + 1.619 V^1.5 + 2.879 V^-6 (точность 1 % при 1.2 < V < 2.4) [5]. При V < 2.5 для оценок удобно использовать приближенную формулу: w/R @ 5.2/V [6]. С ее помощью получаем выражение для радиуса модового пятна

w @ 0.4 l/NA (2)

Пример № 2. Оценка коэффициента перекрытия.

В оптических предусилителях применяются волокна с предельно малым радиусом сердцевины (R ~ 1.0…1.4 мкм, NA ~ 0.3…0.4). Для типичных значений R = 1 мкм и NA = 0.4 с помощью (2) получаем: w/R @ 0.98 на l_н = 980 нм и w/R @ 1.48 на l_н = 1480 нм. Подставив полученные значения w/R в (1) находим величины коэффициентов перекрытия: Г @ 0.65 на l_н = 980 нм и Г @ 0.46 на l_н = 1480 нм.

В оптических усилителях мощности для уменьшения потерь из-за эффектов нелинейного гашения люминесценции применяются волокна с относительно большим радиусом сердцевины и малой числовой апертурой (R ~ 1.6…2.6 мкм, NA ~ 0.15…0.2) [5]. Для R = 2 мкм и NA = 0.2 с помощью (2) и (1) вновь получаем: Г @ 0.65 на l_н = 980 нм и Г @ 0.46 на l_н = 1480 нм.

Значения коэффициентов перекрытия для оптического усилителя получились такими же, как и для оптического предусилителя. Объясняется это тем, что числовая апертура в оптическом усилителе была выбрана в 2 раза меньшей и, соответственно, радиус модового пятна получился в 2 раза больше. А так как в оптическом усилителе радиус сердцевины тоже в 2 раза больше, то отношение w/R и величина коэффициента перекрытия осталось теми же. Средняя же интенсивность излучения в оптическом усилителе при той же оптической мощности получается в 4 раза меньшей, так как площадь сердцевины волокна pR² у него в 4 раза меньше.

Пример № 3. Оценка вероятности переходов.

Вероятность спонтанных переходов определяется только временем жизни ионов в метастабильном состоянии 2 [1, 4, 5]: W_сп = 1/t_сп. Для типичного значения t_сп = 12 мс получаем: W_сп @ 80 1/с.

Вероятность вынужденных переходов дается выражением (4): <W_и> = Гs_иР/(pR²hn) и <W_п> = s_п<I>/hn = Гs_пР/(pR²hn). Для накачки на l_н = 1480 нм Г_н @ 0.46, s_и @ 0.5 10^{-25 м2}, s_п @ 1.5 10^{-25 м2}, hn_н @ 1.3 10^-19 Дж. При R = 1 мкм (предусилитель) и типичном значении мощности накачки Р_н = 10 мВт получаем: <W_и> @ 5.5 10² 1/с и <W_п> @ 1.65 10³ 1/с.

Для накачки на l_н = 980 нм Г_н @ 0.65, s_п @ 2.7 10^{-25 м2}, hn_н @ 2 10^-19 Дж. При тех же значениях R и Р_н получаем: <W_п> @ 2.7 10³ 1/с. Пороговую мощность Р_пор находим из условия <W_п> = W_сп (при Р_н = Р_пор): Р_пор = hn_н pR²/(Г_нs_п t_сп) @ 0.3 мВт.

Дата добавления: 2014-01-07