Признак Даламбера

Если для ряда с положительными членами существует предел , то справедливы следующие утверждения:

1) Если p<1, то ряд сходится;

2) Если p>1, то ряд расходится;

3) Если p=1 – вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство основано на сравнении ряда с рядом, члены которого образуют геометрическую прогрессию. Пусть p<1, q – любое число из интервала (p, 1), т.е. p < q < 1.
Так как , то существует , при будет выполняться неравенство , , отсюда . Записывая последнее неравенство для различных значений n, начиная с номера N, получим:

Таким образом, , следовательно, члены ряда меньше членов сходящейся геометрической прогрессии (q<1), из чего следует, что ряд - сходящийся ряд.

Аналогичным образом можно доказать, что при p>1 ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

- необходимый признак сходимости выполняется, следовательно, ряд, возможно, будет сходящимся.

Применяя признак Даламбера, вычислим , следовательно, ряд сходится.

Дата добавления: 2014-01-07