Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение)

П.1 Понятия и

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным сверху, если найдется число М, для которого .

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным снизу, если найдется число m, для которого .

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным, если найдутся числа m и М, для которых .

Наименьшее из чисел М, ограничивающих сверху множество Х, называют точной верхней гранью этого множества. Аналогично, наибольшее из чисел m, ограничивающих множество Х снизу, называют точной нижней гранью множества Х. Точнее об этом в

ОПР. Число называют точной верхней гранью множества Х,, если выполнены два условия:

1) , 2) .

ОПР. Число называют точной нижней гранью множества Х, , если выполнены два условия

1) ,2) .

Точные верхняя и нижняя грани множества Х могут не принадлежать множеству Х.

ПРИМЕР 1. Множество Х является множеством значений последовательности . Найти и .

РЕШЕНИЕ. Докажем, что . Действительно, . Для любого . Решаем последнее неравенство относительно n: . Заметим, что . Поскольку последовательность возрастающая, то

, т.е.и .

ТЕОРЕМА 1. Любое непустое, ограниченное сверху множество , имеет .

ДОК. Пусть У – множество верхних граней множества Х: . По аксиоме о полноте множества вещественных чисел (аксиома 5), найдется число , для которого

.

Таким образом, и является в нем наименьшим элементом, т.е. .

Замечание. Множество Х имеет только одну точную верхнюю грань.

ДОК. Пусть и - две такие грани и . Тогда по определению для найдется , что противоречит условию .Аналогично доказывается

ТЕОРЕМА 2. Любое непустое, ограниченное снизу множество , имеет и единственное .

П.2 Множество рациональных чисел Q.

Числа вида , , называются рациональными. Два рациональных числа и равны, если .

Множество называется всюду плотным в , если .

ТЕОРЕМА 3. Множество Q рациональных чисел всюду плотно в R.

ДОК. Пусть два произвольных вещественных числа. Выберем натуральное n, для которого . Пусть К множество целых чисел . Множество К ограничено сверху и существует , притом . Тогда .

ОПР. Два множества Х и У называются равномощными, если существует биекция .

ОПР. Множество Х равномощное с N называется счетным.

ТЕОРЕМА 4. Множество Q счетно.

ДОК. Покажем, что всякое бесконечное подмножество У счетного множества Х также счетно. .

Тогда и отображение является биекцией .

Рассмотрим множество Х точек на плоскости с координатами . Множество Х счетно.

(соответствующая биекция изображена на рис.)

Рассмотрим подмножество , состоящее из пар , для которых дробь несократима.

По доказанному, множество счетно и отображение биективно. Тогда отображение биекция и множество рациональных чисел счетно.

П.3 Система вложенных отрезков.

ОПР. Система отрезков называется системой вложенных отрезков, если .

ТЕОРЕМА 5. Любая система вложенных отрезков имеет общую точку.

ДОК. Рассмотрим множества и . Множества А и В ограничены и . Тогда по аксиоме полноты существует , для которого

., т.е .

ОПР. Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если .

ТЕОРЕМА 6. Система стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.

ДОК. Пусть с₁ и с₂ две такие точки и

.

Тогда ,т.е..

Последнее противоречит условию стягивания.

ТЕОРЕМА 7. Множество всех точек отрезка несчетно.

ДОК. Предположим обратное: . Разобьем отрезок и выберем тот из отрезков, который не содержит х₁. Далее полученный отрезок разобьем на три части и выберем тот, который не содержит х₂ и т.д. Полученная совокупность вложенных отрезков стягивающаяся. По теореме 1 существует число , не совпадающее ни с одним из x_n. Полученное противоречие доказывает, что множество [0;1] несчетно. Множества равномощные с [0;1] называются множествами мощности континуума.

УПРАЖНЕНИЯ.

1. Докажите, что множество всех интервалов (а;в) с рациональными концами счетно.

2. Докажите, что множество попарно не пересекающихся интервалов на действительной оси, конечно или счетно.

3. Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, имеет мощность континуума.

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Числовые множества. Понятие точной верхней и нижней грани. Теорема о существовании точной верхней и нижней грани ограниченного числового множества.

2) Множество рациональных чисел. Теорема о всюду плотности рациональных чисел.

3) Счетные множества. Теорема о счетности множества рациональных чисел.

4) Система вложенных отрезков. Теорема о непустоте их пересечения. Система стягивающихся вложенных отрезков. Теорема об единственности точки их пересечения.

5) Теорема о несчетности множества точек отрезка вещественной оси.

Дата добавления: 2014-01-07