Лекция 6. Предел функции 2

П1. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

.

ДОК. (см. рис) Для всех справедливы неравенства: (- длина дуги АВ₁, а - длина дуги катета АВ) и .

Функция б.м.ф. в точке и поэтому, на основании теоремы о промежуточной функции, также б.м.ф.Тогда из теоремы о связи .

Площадь D ОАВ , площадь сектора АОВ₁, площадь DОА₁В_1.Справедливо неравенство: площадь D ОАВ< площадь сектора ОАВ< площадь DОА₁В₁

ÞÞ.

По доказанному , поэтому на основании теорем о промежуточной функции и арифметической теореме о пределах .

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. .

П.2 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ.

.

ДОК. (1) Пусть произвольная последовательность, ,для которой .

Тогда и для каждого n найдутся натуральные числа или . Справедливо неравенство

.

Последовательности и сходятся к числу e, поэтому на основании теоремы о промежуточной последовательности по Гейне, а значит и по Коши.

(2) Пусть - произвольная последовательность, , для которой .Обозначим . Тогда

.

Обозначим .Тогда и . Из доказанного в (1) следует, что .

СЛЕДСТВИЯ (1) .

ДОК.

(2) .

ДОК. Замена .

.

П 3. Сравнение функций.

ОПР. (О – большое) Рассматриваются функции . Говорят, что функция есть

О-большое от функции в окрестности точки ,

обозначение , если

.

ПРИМЕР. в окрестности точки . РЕШЕНИЕ. .

Если в окрестности , то условие равносильно ограниченности функции в окрестности точки . Последнее выполняется, например, если существует .

ОПР. (о – маленькое)

Функция есть о-малое от функции в окрестности точки , обозначение , если .

о(1) – бесконечно малая функция Û .

ПРИМЕР. Алгебра о- малых.(в точке x = 0)

(1) (2) (3) , где - б.м.ф. (4)

РЕШЕНИЕ. (1)

(2) .

(3) Þ , б.м.ф.

(4) Þ Þ .

ОПР. Бесконечно малые в точке функции и называются эквивалентными, если .

Обозначение ~ . Отношение эквивалентности транзитивно: ~ , ~, то ~и симметрично: ~ ® ~ .

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ в точке x = 0.

(1) ~

(2) ~ , (3) ~ , 4) ~ ,

(5) ~ , 6) ~ , (7)~ ,

(7) ~ ,(8) ~ , (9)~

ДОК. Формулы (1)- (3), (6), (8) уже обсуждались, (7) и (9) получаются из них переходом к основанию e, сделав замену и , (5) – аналогично, (10) ~ ~ .

ТЕОРЕМА 1 (о замене бесконечно малой на эквивалентную)

Если бесконечно малые функции ~ , ~ в точке , и существует , то .

ДОК. .

ТЕОРЕМА 2. (о связи эквивалентных бесконечно малых)

Если две бесконечно малые функции и эквивалентны в точке , то. Если бесконечно малые функции и связаны соотношением

,то они эквивалентны.

ДОК.(1)

(2).

П 4. Пределы на бесконечности. Односторонние пределы.

ОПР. Функция имеет предел на бесконечности, обозначение , если

.

ОПР. Функция имеет предел в точке справа, обозначение , если

.

ОПР. Функция имеет предел в точке слева, обозначение , если .

ОПР. Функция имеет предел на , обозначение , если .

ОПР. Функция имеет предел на , обозначение , если .

УПРАЖНЕНИЯ 1) Сформулируйте понятие .

2) Сформулируйте понятие .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Первый замечательный предел.

2) Второй замечательный предел и его следствия.

3) Понятия и . Примеры.

4) Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых функций (с доказательством).

5) Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную.

6) Теорема о связи эквивалентных бесконечно малых функций.

Дата добавления: 2014-01-07