Модели дискретных распределений

Лекции 11-12

Как было выяснено ранее, меры (вероятности) таких событий, как события «устройство функциони­рует исправно», «время безотказной работы устройства превосходит Т», «выходной параметр (пара­метры) устройства лежит (лежат) в заданных пределах» и т.п., а также сочетаний подобных событий определяются распределениями вероятностей. Все три перечисленных события можно выразить как простое событие «успеха» и назвать их вероятность «надежностью». Однако при определенных законах отказов для различных целей можно оценивать не само событие «успеха», а какие-нибудь связанные с ним события. Почти тривиальным, но очень характерным примером является оценка вероятности «ус­пеха», как единица минус отношение числа отказов к общему числу испытаний.

Другим примером, который уже не столь прост и тривиален, может служить оценка, связанная с со­бытием «время безотказной работы превосходит Т». Прежде всего, мы можем интересоваться только двумя событиями: 1) устройство отказало ранее Т (неудача) и 2) устройство проработало время Т (ус­пех). Подобная ситуация в точности эквивалентна ситуации предыдущего примера. Однако простран­ство можно расширить, отмечая моменты времени, когда происходят отказы. Чтобы иметь возможность использовать эту дополнительную информацию для оценки вероятности события «время безотказной работы больше Т», требуется детализировать функции распределения времени безотказной работы с соответствующим выборочным пространством {t>0}. Выбор подходящего распределения может ока­заться сложной задачей, поскольку аналитический вид распределения зависит от «механизма» отказов конкретного устройства. В результате большой экспериментальной работы показано, что существует небольшое количество распределений вероятностей, возможность применения которых почти универ­сальна. Особую важность для теории надежности представляет показательное распределение времени безотказной работы. Как показательный, так и другие законы времени распределения безотказной ра­боты вводятся на основании правдоподобных математических и физических предпосылок. Основанием такого подхода служит то обычное обстоятельство, что простые предположения позволяют получать широко применимые результаты.

Почти все подобные распределения времени безотказной работы допускают определенную нормаль­ную аппроксимацию.

Нормальное распределение в очень общих случаях применимо к описанию оперативных характери­стик или выходов устройств. В самом деле, если замечено отклонение от нормальности, то это рассмат­ривается как случай определенной разладки; обычно находится причина отклонения, и оно устраняется. Таким образом, в широком классе случаев для оценки таких событий, как, например, «проводимость лежит в определенных пределах», применимо нормальное распределение.

В тех случаях, когда конкретное математическое выражение распределения времени безотказной ра­боты или выходного параметра априори неизвестно либо его использование трудно или неудобно, все­гда можно вернуться к наблюдению «успехов» и «неудач». Подобная модель является очень общей; она связана с биномиальной схемой испытаний. Даже в случае такого по виду простого распределения, как биномиальное, можно показать, что выбор модели распределения зависит от схемы опытов, т.е. от вы­борочного пространства. Так, если количество испытаний заранее фиксировано, можно применять би­номиальное распределение; однако, если опыт производится до получения определенного числа отказов, следует применить отрицательное биномиальное распределение.

Характерно, что в подобном случае, когда модель распределения дискретна, обнаруживается приме­нимость при определенных предельных соотношениях нормального распределения; последнее позво­ляет вычислять «биномиальное» вероятности. Это еще раз говорит об универсальности нормального закона.

Поскольку модели дискретных распределений представляют большую общность, вначале рассмотрим некоторые важные для практики распределения дискретных случайных величин.

Дата добавления: 2014-01-07