Градиент функции. Производная по направлению вектора

Градиентом функции называется вектор, проекциями которого на оси координат являются частные производные данной функции:

.

Производной функции в данном направлении называется

.

Если функция дифференцируемая, то производную в данном направлению можно найти по формуле

,

где - направляющие косинусы вектора .

● Пример 4. Дана функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке ; 2) производную в точке по направлению вектора .

Решение. 1) Найдем частные производные данной функции:

; .

Градиент данной функции в произвольной точке равен

.

Определим градиент в точке

.

2) Найдем производную функции в точке по направлению вектора.

Частные производные функции в точке равны

; .

Определим направляющие косинусы вектора

;

Отсюда, искомая производная

. ●

Вопросы для самоконтроля

1. Понятие о функции нескольких переменных.

2. Полное и частное приращение функции.

3. Частные производные функций нескольких переменных.

4. Полный дифференциал.

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

6. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

7. Необходимый признак экстремума функций двух переменных.

8. Нахождение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.

Тема 7 «Комплексные числа. Многочлены»

Дата добавления: 2014-01-07