Частные производные первого порядка

Рассмотрим функцию . Пусть независимая переменная у приняла постоянное значение , а переменная изменяется. Тогда из функции двух переменных получим функцию одной независимой переменной .

Ее графиком является линия пересечения поверхности и плоскости (рис 10).

Поскольку является функцией одной переменной, ее производная в точке вычисляется по формуле

Рис. 10.

Эта производная называется частной производной от функции двух переменных в точке .

Обозначим через приращение переменной х; введем также обозначение

Приращение называют частным приращением функцииz по переменной х.

Аналогично, если переменная у получает приращение , а х остается постоянной, то частное приращение функции z по переменной у имеет следующий вид:

Если существует предел

то этот предел называется частной производной первого порядка или первой частной производной по переменной х; она обозначается следующими символами:

.

Аналогично определяется первая частная производная по переменной у

как предел отношения

.

Пример 1. Найти первые частные производные функции

.

Решение. Чтобы найти частную производную по , принимаем у за постоянную и находим производную по х:

(Производную приняли равной нулю, поскольку у считаем постоянным числом. В первом слагаемом постоянную вынесли за знак производной.)

Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у.

Пример 2. Найти первые частные производные функции

.

Решение. Чтобы найти частную производную по , принимаем у за постоянную и находим производную по х:

Чтобы найти частную производную по у, принимаем за постоянную и находим производную по у:

.

Дата добавления: 2014-01-07