Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения: хуу^/ = у² + 2х² (17)

Решение: разделив обе части дифференциального уравнения (17) на х у (предполагая, что ху ≠ 0), имеем:

или (18)

Последнее уравнение имеет вид (16), а значит заданное уравнение (17) есть однородное дифференциальное уравнение. Положим , откуда у =x t_(х) и у^/ = (х t_(х))^/ = х^/ t_(х) + х t^/_(х) = 1 t_(х) + х t^/_(х) = t + х t^/.

В результате, после указанной подстановки в уравнение (18), получаем уравнение с разделяющимися переменными:

;

;

;

;

;

;

;

.

Произведя обратную подстановку , находим общее решение заданного уравнения: ;

.

Самостоятельно убедитесь, что в процессе преобразований при делении на ху и не были потеряны никакие решения исходного уравнения.

Ответ: .

Дата добавления: 2014-01-07