Стационарный белый шум

Определение 2.6. Стационарным белым шумом называют стационарную случайную функцию X(t), спектральная плотность которой постоянна:

.

Появление термина „белый шум" объясняется следующим. Слово „белый" указывает на сходство с белым светом, у которого спектральный состав примерно однороден, а слово „шум" говорит о том, что подобные процессы впервые привлекли к себе внимание в радиотехнике, где их наличие приводит к возникновению шумов в линиях радиопередач.

Белый шум обладает бесконечной дисперсией и практически не может быть реализован. Но из физических соображений ясно, что любая динамическая система является инерционной и очень высокие частоты не могут оказывать значимого влияния на ее поведение. Это открывает возможность моделирования с помощью белого шума реальных случайных процессов. Например, белый шум часто используют для моделирования случайных процессов, имеющих постоянную (или почти постоянную) спектральную плотность в определенной полосе частот, пренебрегая поведением спектральной плотности вне этой полосы. Подобные ситуации возникают при изучении многих физических явлений, связанных с воздействием отдельных молекул или электронов на макроскопические системы (например, во всех явлениях, родственных броуновскому движению). Подобные случайные процессы также будем называть „белым шумом", отмечая кавычками условность такого подхода.

Найдем корреляционную функцию белого шума. Используя (9), получим

.

Приняв во внимание (12), окончательно имеем

(13).

Таким образом, корреляционная функция стационарного белого шума пропорциональна дельта - функции; коэффициент пропорциональности называют интенсивностью стационарного белого шума.

Дельта - функция равна нулю при всех и поэтому корреляционная функция также равна нулю при этих же значениях t. Это означает некоррелированность любых двух его сечений стационарного белого шума - случайных величин и .

Благодаря этому белый шум находит широкое применение в теории случайных функций. Однако эта же особенность указывает на то, что осуществить белый шум невозможно, так как в действительности при очень близких значениях t₁ и t₂ соответствующие случайные величины X(t₁) и X(t₂) в известной степени коррелированы.

Некоррелированность случайных величин, являющихся сечениями белого шума в различные моменты времени - одна из основных причин его широкого применения. При использовании ограниченного по полосе шума все же можно получить значимое абсолютное значение коэффициента корреляции для случайных величин, являющихся сечениями случайного процесса при близких значениях t₁ и t₂, что зачастую существенно затрудняет анализ полученных результатов. Использование белого шума в теории случайных процессов во многом аналогично использованию d-функции Дирака в теории линейных систем и математической физике.

Таким образом, стационарный белый шум - математическая абстракция полезная для теории случайной функции и ее приложений.

Заключение

Задание студентам для самостоятельной учебной работы, список рекомендуемой литературы и методические указания.

1. а) Показать, что слагаемые суммы (2) попарно не коррелированны.

б) Доказать самостоятельно свойства корреляционной функции белого шума.

2. Использованная для подготовки лекции литература:

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. - Изд. 11-е, стер. - М.: Высш.шк., 2005. - 479с: ил.

2) Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - Учеб. Пособие для втузов. - 2-е изд., стер. - М.: Высш.шк., 2000. - 383с: ил.

3) Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учебник для вузов / Под редакцией В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 2-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003. – 448 с.

Лекция разработана

доцентом кафедры КБ

к.ф.-м.н, Зайцевой И.В.

_______________________

«____»___________200__г.

Дата добавления: 2014-01-07