Замена переменной в интеграле

Наибольшее число известных интегралов вычисляются с использованием этого приема. Суть его в следующем. Вместо прежней переменной интегрирования вводится новая переменная так, чтобы вновь получившийся интеграл стал более простым, или более удобным для интегрирования. Основан этот прием на свойстве инвариантности первого дифференциала функции.

Рассмотрим интеграл . Очевидно, его можно представить в виде , где неизвестная пока первообразная подынтегральной функции . Пусть . Из инвариантности первого дифференциала имеем с одной стороны , с другой

,

откуда следует, что вместо интеграла можно вычислять интеграл

. После вычисления полученного интеграла необходимо вернуться к старой переменной. Итак,

,

где функция, обратная функции .

Примеры.

1.

.

После выделения полного квадрата в подкоренном выражении стала очевидной замена, приводящая интеграл к табличному. Замена приведена в фигурных скобках. Важно отметить, что в ходе замены должна быть установлена связь не только между новой и старой переменными, но и между дифференциалами этих переменных.

Необходимо заметить, что в первой строке осуществлена, вообще говоря, неверная запись результата, в результате которой вычисленный интеграл представлен в виде функции , хотя он является функцией , что подтверждается второй строкой решения после проведения обратной замены. В большинстве учебников такая вольность промежуточных вычислениях считается допустимой в, однако, ответ должен быть функцией старой переменной. Это продемонстрировано во втором и третьем примерах.

2. .

3. .

Следует заметить, что при вычислении практически каждого интеграла используется формула дифференциала функции . Без знания этой формулы вычисление интегралов невозможно.

В вышеприведенных примерах не всегда понятно, как выбирается замена переменной. Далее будет изложена теория, из которой следует, какую замену нужно производить в том, или ином случае.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

7. , 8. , 9. ,

10. , 11. , 12. ,

Дата добавления: 2014-01-07