Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл




Читайте также:
  1. NB! Следует отличать значение и смысл.
  2. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
  3. Биологический смысл условного рефлекса
  4. Богатое философское наследие Платона критически переосмыслил его ученик, ученый-энциклопедист Аристотель.
  5. В узком смысле слова под дыхательным центром подразумевают структуры ЦНС, где происходит окончательное формирование дыхательного стимула.
  6. Варіаційні задачі на умовний екстремум. Рівняння Ейлера-Лагранжа
  7. Вероятностный смысл математического ожидания
  8. Вероятностный смысл плотности распределения.
  9. Вероятностный смысл энтропии
  10. Внезапное расширение. Теорема Борда - Карно
  11. Вопрос 25. Какой смысл вкладывает В.Зелизер в понятие институциональных денег?
  12. Вторая теорема Карно

Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной точки, так и на промежутках области ее определения).

Теорема Ролля.Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) .

Тогда существует такая точка , что.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если функция f непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри его и принимает на концах отрезка равные значения, то существует точка графика функции, в которой касательная параллельна оси Ox .

Теорема Лагранжа.Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

Тогда существует такая точка , что.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если функция f непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его, то существует точка графика функции, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки и .

Замечание.Формулу Лагранжа часто записывают в виде

и говорят, что приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению приращения аргумента на значение производной в некоторой промежуточной точке.

Порядок точек b и a несущественен: если , то , следовательно, .

Определение 1.Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность точки , содержащаяся в E .

Определение 2.Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие множеству E, так и не принадлежащие ему.

Ясно, что точка является граничной точкой множества в том и только в том случае, если она является одновременно точкой прикосновения для множества E и его дополнения .

Теорема 2(условие постоянства функции). Пусть функция f :

1) определена и непрерывна на промежутке I ;

2) во всех внутренних точках промежутка I имеет производную , равную 0.

Тогда функция f постоянна на промежутке I .

Доказательство.Зафиксируем точку . Пусть . Применим к функции f на отрезке с концами x0 и x теорему Лагранжа: , где c - между x0 и x . По условию теоремы, , следовательно, для всех , т.е. функция f постоянна на I .





Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 361; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.