Метод интегрирования по частям

Таблица основных интегралов

Используя формулы производных основных элементарных функций, получаем:

1. . 2. .

3. , , ;если , то ;

если и , то .

4. , .

5. , . 6. ,

7. , . 8. , .

9. на каждом из интервалов , .

10. на каждом из интервалов , .

11. , 12. , .

В таблицу интегралов часто включают также следующие формулы, которые легко проверить непосредственным дифференцированием:

13. , .

14. , .

15. , .

16. , или .

17. , .

18. , .

3. Основные свойства неопределенного интеграла

1. ; 2. ;

3.; 4. .

Проверим, например, свойство 2). Пусть F - первообразная функции f, G - первообразная функции g на промежутке I. Это значит, что и для . Следовательно, , то есть есть первообразная функции.

Итак, .

Но , где

- такая же произвольная постоянная, как и С.

Теорема 1. Пусть функции и имеют на промежутке I непрерывные производные. Тогда: .

Доказательство. Формула интегрирования по частям основана на правиле дифференцирования произведения двух функций: . Функции, по условию теоремы, непрерывны, следовательно, существуют интегралы , . Тогда ; следовательно, . Так как интеграл уже содержит произвольную постоянную, то в полученном равенстве С можно опустить. Теорема доказана.

Пример 1. Выведем формулу 17 таблицы интегралов.

=.

Следовательно, .

Разделив обе части этого равенства на два, получаем формулу 17.

Дата добавления: 2014-01-07