Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Метод замены переменной основан на правиле дифференцирования сложной функции.

Теорема. Пусть функция x = j (t) имеет непрерывную производную, тогда

.

Доказательство. Пусть F (x) – первообразная для функции f (x), т.е. . Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции, имеем

.

Тогда . Теорема доказана.

Следствие. Из теоремы следует, что следующее формальное преобразование является истинным:

.

Замечание 1. Нередко формула для интегрирования заменой переменной находится после выбора некоторой функции , удобной для преобразования подынтегральной функции, но не позволяющей применить метод интегрирования подстановкой.

Пример 1.

.

Замечание 2. Однако чаще формула теоремы применяется в другую сторону:

.

Эта формула нередко называется методом интегрирования подстановкой. Подчеркнем, что метод подстановки эффективен в том случае, если подынтегральная функция может быть представлена в виде , т.е. если подынтегральная функция содержит в качестве множителя производную () того выражения , которое обозначается через новую переменную t.

Пример 2. .

Замечание 3. Третье свойство первообразной является частным случаем метода подстановки.

Пример 3. .

Дата добавления: 2014-01-07