Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая) и их графики

Четные и нечетные, ограниченные и монотонные функции

Понятие функции, способы задания функций. Область определения.

Понятие функции является одним из основных понятий в математике. Имеется несколько различных подходов к определению функции. Изложим один из них.

Определение 1. Пусть X и Y – два множества действительных чисел. Функцией из множества X в множество Y будем называть правило f, по которому каждому числу x из множества X соответствует единственное число y из множества Y. Записывают: y = f (x) или f: X ® Y.

Независимую переменную x называют аргументом функции f. Число f (x), соответствующее числу x, называют значением функции f в точке x.

Определение 2. Если функция задана аналитически, (т.е. с помощью какой-либо формулы), то областью определения фнкции f считают всех значений D (f) аргумента, при которых эта формула имеет смысл.

Определение 3. Графиком функции f называется множество всех точек (x; y) координатной плоскости, где x Î D (f), а y = f (x).

Заметим, что некоторое подмножество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси ординат Oy.

Часто функцию задают графически. При этом для любого x ₀Î D (f) легко найти соответствующее значение y ₀ = f (x ₀).

Стандартными являются следующие задачи:

1) функция задана аналитически, требуется исследовать её свойства и построить график функции;

2) задан график функции, требуется определить основные свойства этой функции (²прочитать² график).

К основным свойствам функции относят следующие:

1) четность и нечетность;

2) периодичность;

3) нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс Ox);

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки монотонности;

6) точки экстремума;

7) поведение функции в окрестности характерных (особых) точек;

8) поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности;

9) наличие асимптот (вертикальных, горизонтальных, наклонных).

Свойства 1-4 относят к элементарным свойствам, свойства 5-6 удобно изучать с помощью производной, свойства 7-9 устанавливаются с помощью вычисления соответствующих пределов.

Определение 1. Функция называется элементарной, если она может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, умножения, деления и композиции функций.

Определение 2. К основным элементарным функциям обычно относят степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Тема 4: Пределы и непрерывность

3. Предел последовательности при n ®¥ и предел функции при x ®¥.

Дата добавления: 2014-01-07