Основные теоремы о пределах (одну из них доказать)

Определение предела функции в точке.

Определение 1. Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x = x ₀, если значения функции f (x) приближаются (стремятся) к числу A, когда значения аргумента x приближаются (стремятся) к числу x ₀ (x ¹ x ₀).

Обозначения: или f (x)®A при x ® x ₀. Более строго:

Определение 1 '. Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x = x ₀, если для любого как угодно малого числа e >0 существует такое число d >0, выбираемое в зависимости от e, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих неравенству | x - x ₀|< d, соответствующее значение функции удовлетворяет неравенству | f (x)- A |< e.

Заметим, что не всякая функция имеет предел в заданной точке.

При нахождении предела функции используется два основных способа:

1) по определению; например, для доказательства или .

2) с использованием известных пределов и (или) теорем о пределах.

Теорема 1. Если функция y = f (x) имеет предел в точке x = x ₀, то только один.

Теорема 2. Пусть , и в некоторой проколотой окрестности точки x ₀ выполняется неравенство f (x)£ h (x)£ g (x). Тогда: ;

Теорема 3. Пусть , . Тогда:

1. ;

2. ;

3. (если B ¹0).

Дата добавления: 2014-01-07