Связь бесконечно больших величин с бесконечно малыми величинами

Бесконечно большые величины (определение).

Замечание 1. Среди всех расходящихся последовательностей выделяют так называемые бесконечно большие последовательности (б.б.п.), элементы которых неограниченно возрастают по абсолютной величине при возрастании их номеров.

Пример 1. a_n = n. a ₁ = 1, a ₂ = 2, a ₃ = 3, a ₄ = 4, … (положительная б.б.п.).

Пример 2. a_n = - n ². a ₁ = -1, a ₂ = -4, a ₃ = -9, a ₄ = -16, … (отрицательная б.б.п.).

Пример 3. a_n = (-1) ⁿ × n. a ₁ = -1, a ₂ = 2, a ₃ = -3, a ₄ = 4, … (б.б.п.).

Теорема 1. 1) если (a _n) — б.м.п., то (1/a _n) — б.б.п.;

2) если (b _n) — б.б.п., то (1/b _n) — б.м.п.

Пример 4. есть б.б.п., т.к. .

Замечание 2. Среди всех функций, не имеющих предел в точке x = x ₀, выделяют бесконечно большие функции. Функция y = b (x) называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при x ® x ₀, если значения функции неограниченно возрастают по модулю при x ® x ₀.

Теорема 2. 1) если y = a (x) – б.м.ф. при x ® x ₀, то 1/ a (x) – б.б.ф. при x ® x ₀;

2) если y = b (x) – б.б.ф. при x ® x ₀, то 1/ b (x) – б.м.ф. при x ® x ₀

7. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах

Рассмотрим последовательность . Вычислим a ₁=2, , ,…. Можно доказать, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, следовательно, имеет предел (по теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности). Обозначим предел буквой е.

Определение 1. Числом e называется предел последовательности .

Известно, что число e является иррациональным числом и e =2,718281828459045…

Можно доказать также, что . Этот предел и называется вторым замечательным пределом. Обратим внимание, что переменная x принимает значения произвольного знака, следовательно, и .

Замечание 1. Второй замечательный предел широко используется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей вида (1^¥).

Замечание 2. Второй замечательный предел часто используется в другой форме. Обозначим 1/ x = y, тогда x =1/ y (x®¥ Û y ®0). Следовательно, .

Известно, что логарифмическая функция y =log _ax является обратной к показательной функции y = a^x.

Определение 2. Натуральным логарифмом (логарифмической функцией с основанием e) называется функция, обратная к показательной функции y = е^x и обозначается y =ln x.

Напомним основные свойства функции y =ln x:

1) область определения функции ¾ промежуток (0;+¥);

2) множество значений функции ¾ вся числовая прямая (-¥;+¥);

3) функция ln x возрастает на (0;+¥);

4) функция ln x непрерывна в любой точке x Î(0;+¥);

5) , .

Дата добавления: 2014-01-07