Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференциал функции и его геометрический смысл

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Определение 1. Пусть функция дифференцируема в точке x 0, т.е. приращение функции f в точке x 0 может быть представлено в виде , где . Дифференциалом функции f в точке x 0 называется главная линейная часть приращения функции f в точке x 0 и обозначается или .

Обратим внимание на то, что в фиксированной точке x 0 линейно зависит от приращения аргумента и при условии действительно вносит главный вклад в приращение функции f, ибо

.

Заметим также, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Действительно, рассмотрим функцию . Имеем , следовательно, , то есть .

Итак, если функция f дифференцируема в точке x, то в этой точке существует дифференциал функции f, который может быть вычислен по формуле

,

т.е. дифференциал функции f равен произведению производной функции f на дифференциал аргумента.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции f в точке x 0. Пусть функция f дифференцируема в точке x 0,следовательно, существует касательная к графику функции f в точке М0(x 0; f (x 0)). Зафиксируем приращение аргумента D x в точке x 0. Рассмотрим треугольник M0SN, где MN - касательная к графику f, а M0S и MS - прямые, параллельные осям координат. Ясно, что M0S=D x, MS=D y, NS=M0S×tga=.

Итак, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, вызванному приращением абсциссы .

Теорема 1. Если функции u, v дифференцируемы в точке x 0 , то:

1) (дифференциал суммы равен сумме дифференциалов);

2) ;

3) если , то .

Напомним, что дифференциал функции , где x - независимая переменная, вычисляется по формуле . Оказывается, что эта формула верна и в том случае, если переменная x сама является дифференцируемой функцией вида .

Если функция дифференцируема в точке, а функция дифференцируема в точке , то дифференциал композиции этих функций

.

Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала функции.


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тема 7. Дифференциал функции | Функции нескольких переменных. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 694; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.