Условное математическое ожидание и условная дисперсия

Двумерное нормальное распределение.

ЛЕКЦИЯ 8

Тема 6: Двумерные (n -мерные) случайные величины

Тема 7: Закон больших чисел

ПЛАН

1. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия.

2. Лемма Чебышева (неравенство Маркова). Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.

3. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин. Теорема Чебышева и ее значение.

4. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение.

Вспомним определение обычной нормальной случайной величины. Случайная величина распределена по нормальному закону, если её функция распределения и плотность вероятностей имеют вид:

F(x) = + (), (x) = .

Определение 1. Двумерная случайная величина (Х,У) распределена по нормальному закону, если её совместнаяплотность имеет вид:

(x,у) = ,

где L(x,y) = [()² - 2 + ()²].

Если нормальный закон одной случайной величины определяется двумя параметрами: а и , то двумерный нормальный закон распределения определяется пятью параметрами: а_х, а_у, ²_х,²_у, , которые являются математическими ожиданиями и дисперсиями соответствующих случайных величин, а - коэффициент корреляции.

Аналогично формулам условных вероятностей для дискретных случайных величин, можно вывести аналогичные формулы для плотности вероятностей условных распределений, которые имеют вид:

_у(x) = и _х(у) = .

Из этих формул следует теорема (правило) умножения плотностей вероятностей:

(х,у) = ₁(x) _х(у) = ₂(у) _у(x).

Условные математические ожидания и условные дисперсии нормально распределённых величин вычисляются по формулам:

М_у(х) = а_х + (у - а_у), М_х(у) = ау + (х - а_х),

D_у(Х) = ²_х(1 - ²), D_х(У) = ²_у(1 - ²).

Дата добавления: 2014-01-07