Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события




Лемма Чебышева (неравенство Маркова)

Теорема 1. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа e верно неравенство

.

Доказательство. Пусть Х ¾ дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

X: x 1 x 2 ¼ xi ¼ xn
p 1 p 2 ¼ pi ¼ pn

Пусть значения x 1, x 2, ¼, xk не превосходят e, а значения xk +1, ¼, xn больше e.

По теореме сложения вероятностей .

Но . Это вытекает из неотрицательности случайной величины Х и определения математического ожидания. Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 2. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

, где a = M (X), e >0.

Доказательство. Применим лемму Чебышева к случайной величине и положительному числу e 2. Получим неравенство , равносильное неравенству . Теорема доказана.

Замечание. События ½ X - a ½>e£ и ½ X - a ½£e противоположны, следовательно:

.

Запишем неравенство Чебышева для некоторых типов случайных величин.

1. Для случайной величины Х = m, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием np и дисперсией npq, справедливо неравенство:

.

2. Для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию , справедливо неравенство:

.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1719; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.