Кольца, их основные типы и свойства

Определение 4.1.1. Кольцо (K, +, ×) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением. Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b) × c = a × c + b × c и с × (a + b) = c × a + c × b для произвольных a, b, c Î K.

Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.

1. (Z, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми.

2. (Z /n Z, +, ×) – кольцо классов вычетов по модулю n Î N с операциями сложения и умножения.

3. Множество M_n (K) всех квадратных матриц фиксированного порядка n Î N с коэффициентами из кольца (K, +, ×) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z, Q, R, C или Z /n Z при n Î N.

4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a; b) вещественной числовой оси, с обычными операциями сложения и умножения функций.

5. Множество полиномов (многочленов) K [ x ] с коэффициентами из кольца (K, +, ×) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [ x ], Q [ x ], R [ x ], C [ x ], Z / n Z [ x ] при n Î N.

6. Кольцо векторов (V ₃(R), +, ´) c операциями сложения и векторного умножения.

7. Кольцо ({0}, +, ×) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 × 0 = = 0. ·

Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь , ). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы, коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные.

Теорема 4.1.1. Пусть (K, +, ×) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K ^* обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.

Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a, b Î K ^*. Покажем, что a × b Î K ^*. $ (a × b)^–1 = b ^–1 × а ^–1 Î K. Действительно,

(a × b) × (b ^–1 × а ^–1) = a × (b × b ^–1) × а ^–1 = a × 1 × а ^–1 = 1,

(b ^–1 × а ^–1) × (a × b) = b ^–1 × (а ^–1 × a) × b = b ^–1 × 1 × b = 1,

где а ^–1, b ^–1 Î K – обратные элементы к a и b соответственно.

1) Умножение в K ^* ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.

2) 1^–1 = 1: 1 × 1 = 1 Þ 1 Î K ^*, 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K ^*.

3) Для " a Î K ^*, а ^–1 Î K ^*, так как (а ^–1) × a = a × (а ^–1) = 1 (а ^–1)^–1 = a.

Определение 4.1.3. Множество K ^* обратимых относительно умножения элементов кольца (K, +, ×) называют мультипликативной группой кольца.

Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.

1. Z ^* = {1, –1}.

2. M_n (Q)^* = GL_n (Q), M_n (R)^* = GL_n (R), M_n (C)^* = GL_n (C).

3. Z / n Z ^* – множество обратимых классов вычетов, Z / n Z ^* = { | (k, n) = 1, 0 £ k < n }, при n > 1 | Z / n Z ^* | = j (n), где j – функция Эйлера.

4. {0}^* = {0}, так как в данном случае 1 = 0. ·

Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K, +, ×) с единицей группа K ^* = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением. Коммутативное тело называется полем.

Из данного определения очевидно, что в теле K ^* ¹ Æ и 1 Î K ^*, значит, 1 ¹ 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.

Дата добавления: 2014-01-07