Свойства гомоморфизмов колец

1. Композиция гомоморфизмов колец – гомоморфизм колец.

Пусть , , – кольца, , – гомоморфизмы колец, – композиция функций. Тогда для " a, b Î K ₁ выполняются равенства:

;

.

Итак, – гомоморфизм колец.

2. Если f: K ₁ ® K ₂ – гомоморфизм колец, то – подкольцо K ₂.

Im f Í K ₂ и . (K ₁, +) и (K ₂, ) – группы, f – гомоморфизм данных аддитивных групп. Поэтому, по свойству 2 гомоморфизмов групп . Для выполняется , поскольку f – гомоморфизм колец. Следовательно, Im f – подкольцо K ₂.

3. Если f: K ₁ ® K ₂ – гомоморфизм колец, то и для .

Так как f: K ₁ ® K ₂ – гомоморфизм соответствующих аддитивных групп колец (K ₁, +) и (K ₂, ), то по свойству 2 гомоморфизмов групп имеем и для . Непосредственное доказательство:

по определению гомоморфизма, нейтрального и противоположного элемента аддитивной группы.

4. Если f: K ₁ ® K ₂ – гомоморфизм колец, то и для в Im f, где – единица K ₁ и – единица Im f.

Согласно свойству 2 . Если – единица K ₁, то для , поскольку f – гомоморфизм, выполняется

То есть – единица . Для выполняются равенства и f (a ^–1) · f (a), следовательно, в Im f.

5. Если f: K ₁ ® K ₂ – гомоморфизм колец, то Ker f – двусторонний идеал K ₁.

Ker f Í K ₁ и Ker f ¹ Æ, так как Ker f по свойству 3. Для " a, b Î Ker f . Далее, для " a Î Ker f, " k Î K ₁ выполняется , . Итак,

Пример 4.6.4. Рассмотрим функцию f: Z /28 Z ® Z /28 Z, где . f – эндоморфизм кольца (Z /28 Z, Å, Ä), так как для любых , Î Z /28 Z

, .

Можно заметить, что для , поскольку , а также, что Im f и Ker f являются главными идеалами кольца Z /28 Z, то есть Im f , где (k, 28) = 28/7 = 4, и Ker f , где (l, 28) = 28/4 = 7. Таким образом,

Im f ,

Ker f .

Im f – подкольцо Z /28 Z, но , поскольку Im f. ·

6. Гомоморфизм колец f: K ₁ ® K ₂ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда .

Доказательство вытекает из свойства 4 гомоморфизмов групп, поскольку f: K ₁ ® K ₂ – гомоморфизм соответствующих групп (K ₁, +) и (K ₂, ).

Из свойств 5 и 6 следует, что любой гомоморфизм произвольных полей является либо нулевым, либо инъективным (так как поле не имеет нетривиальных идеалов). Гомоморфизмы позволяют произвести отождествления изоморфных полей, установить между полями отношения частичного порядка – по включению.

Теорема 4.6.1 (первая теорема о гомоморфизмах колец). Пусть (K, +, ×) – кольцо, – двусторонний идеал. Тогда существует эпиморфизм колец для которого Ker f = I.

Построим функцию , где . f – сюръекция: , , существует .

для согласно построению факторкольца (K / I, Å, Ä). Поэтому f – гомо-морфизм колец.

Для Ker f. Пусть но если , так как различные классы вычетов по модулю двустороннего идеала не пересекаются. Получается противоречие. Значит, и . Итак,

Определение 4.6.4. Гомоморфизм колец где при ко-тором называется естественным (каноническим) гомомор-физмом.

Теорема 4.6.2 (вторая теорема о гомоморфизмах колец). Пусть– гомоморфизм кольца в кольцо . Тогда

(свойство 2 гомоморфизмов колец), (свойство 5 гомоморфизмов колец). Построим функцию f: , где . f – сюръективная функция, так как для .

f не зависит от выбора представителя класса вычетов : пусть a ₁ = a + i , тогда получаем, что

.

Пусть , тогда . Так как иначе , что приводит к противоречию тому, что . Значит, f – инъекция. Итак, f: – биективная функция.

для . Значит, f – гомоморфизм колец. Таким образом, f – изоморфизм колец и .

Поскольку для произвольного кольца , из свойства 6 гомоморфизмов колец и теоремы 4.6.2 следует, что любой инъективный эндоморфизм кольца является автоморфизмом. В частности, любой ненулевой эндоморфизм поля является его автоморфизмом.

Пример 4.6.5. Пусть (P, +, ×) – поле, (P [ x ], +, ×) – кольцо полиномов над полем P. – фиксированный элемент поля. Рассмотрим функцию , где . Тогда для справедливы равенства:

следовательно, y – гомоморфизм колец.

по следствию 1 из теоремы Безу 4.4.4. y – сюръекция, так как для и . Значит, Таким образом, по теореме 4.6.2 . ·

Развитием следствия 2 из теоремы 4.5.2 является следующая теорема.

Теорема 4.6.3 (теорема существования корня). Для всякого неприводимого полинома f (x)Î P [ x ] степени n Î N существует расширение поля P, содержащее корень этого полинома и изоморфное полю P [ x ]/< f (x) >.

Факторкольцо (P [ x ]/< f (x) >, Å, Ä) является полем согласно следствию 2 из теоремы 4.5.2. Подполе в P [ x ]/< f (x) > изоморфно полю P, очевидно, изоморфизм задает функция y: P ® P [ x ]/< f (x) >, где y (a) = , являющаяся вложением P в P [ x ]/< f (x) >, как уже говорилось в примере 4.6.3. Пусть f (x) = a_nxⁿ +…+ a ₁ x + a ₀, , тогда в поле P [ x ]/< f (x) > . Но поскольку = , то, является корнем полинома . Рассмотрим теперь множество S, удовлетворяющее условиям: S Ç P = Æ, | S | = | (P [ x ]/< f (x) >)\ | ¹ 0 при n > 1. Пусть F = S È P, при n = 1 F = P. Зададим на F структуру поля, продолжив мономорфизм y до изоморфизма F на P [ x ]/< f (x) >. Если b, c Î F, то полагаем

b + c = y ^–1(y (b)Å y (c)), b × c = y ^–1(y (b)Ä y (c)).

При ограничениях на P эти операции совпадают соответственно с заданными операциями сложения и умножения в P, и ясно, что P – подполе F. Положим a = , тогда y (f (a)) = y (a_naⁿ +…+ a ₁ a + a ₀) = = = и, поскольку y – изоморфизм F на P [ x ]/< f (x) >, f (a) = 0 в поле (F, +, ×). Значит, построенное поле является расширением поля P, содержащим корень a полинома f (x).

Следствие 1. Для любого полинома f (x)Î P [ x ] степени n Î N существует расширение поля P, содержащее корень этого полинома.

По теореме 4.4.1 полином f (x) однозначно разлагается на множители: f (x) = , где , – неприводимые над P полиномы со старшими коэффициентами, равными 1, – старший коэффициент f (x). Согласно теореме 4.6.3 для каждого существует расширение поля P, содержащее корень данного полинома, являющийся и корнем полинома f (x) в соответствии со следствием 1 из теоремы Безу 4.4.4 и свойством 3 делимости полиномов.

Замечание. Тот факт, что расширение поля P содержит корень a полинома f (x)Î P [ x ], вовсе не означает, что содержит все корни этого полинома.

Пример 4.6.6. Полином f (x) = x ⁴–2 неприводим над Q по по признаку Эйзенштейна: p = 2. В поле C данный полином имеет четыре простых корня: , , и . Но поле содержит только первый и третий из этих корней, но не все четыре. ·

Следствие 2. Для любого полинома f (x)Î P [ x ] степени n Î N существует расширение поля P, содержащее все корни f (x).

Доказательство проведем индукцией по степени полинома f (x). Если deg f = 1, то f (x) = ax + b, a ¹ 0, и – a ^–1 b Î P – единственный корень f (x), значит, P – искомое поле. Предположим, что утверждение верно для всех многочленов степеней, меньших фиксированного n Î N _>1, с коэффициентами из произвольных полей.

Пусть теперь deg f = n > 1. Тогда по следствию 1 из теоремы 4.6.3 существует расширение P ₁ поля P, содержащее корень a полинома f (x). Согласно следствию 1 из теоремы 4.4.4 в P ₁[ x ] f (x) = (x – a) g (x), где g (x)Î P ₁[ x ] и deg g = = n –1. По предположению индукции существует расширение P ₂ поля P ₁, содержащее все корни g (x). Так как P ₂ является расширением поля P и содержит все корни полинома f (x) (оно содержит a и все корни полинома g (x)), то P ₂ и есть искомое расширение.

Теорема 4.6.4. Пусть – эпиморфизм колец, Ker f = I. Тогда существует взаимно однозначное и сохраняющее включения соответствие между всеми идеалами кольца и идеалами U кольца (K, +, ×), содержащими I, такое что , .

, Ker f = I. Пусть – произвольный идеал кольца , соответственно левый, правый, двусторонний. Рассмотрим прообраз идеала при отображении f – . Тогда для , выполняются следующие свойства:

1) , так как , поскольку , – идеал кольца , значит, , а ;

2) , так как , поскольку , – идеал кольца , значит, , а ;

3) , если – левый идеал, , если – правый идеал, , если – двусторонний идеал, так как соответственно , , , поскольку и соответственно , , , а , .

Таким образом, является соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца (K, +, ×) согласно определению. Поскольку , то . Если – идеалы кольца , причем , то для , значит, для , такое что , поскольку , , следовательно, . Итак, существует функция, заданная на множестве всех идеалов кольца , которая каждому левому, правому, двустороннему идеалу ставит в соответствие его прообраз при отображении f, являющийся соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца (K, +, ×), содержащим I, и данная функция сохраняет включения идеалов.

Пусть теперь U – произвольный идеал кольца (K, +, ×), соответственно левый, правый, двусторонний. Рассмотрим образ идеала U при отображении f – . Тогда для , выполняются следующие свойства:

1) , так как , поскольку , U – идеал кольца K, значит, , а ;

2) , так как , поскольку , U – идеал кольца K, значит, , а ;

3) , если U – левый идеал, , если U – правый идеал, , если U – двусторонний идеал, так как соответственно , , , поскольку и соответственно , , , а , .

Таким образом, является соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца согласно определению. Если – идеалы кольца (K, +, ×), причем , то для , значит, для , такое что , поскольку , , следовательно, . Для выполнения условия , , где – идеал кольца , необходимо и достаточно, чтобы идеал U кольца (K, +, ×) содержал в качестве подмножества I.

Итак, показано, что существует взаимно однозначное и сохраняющее включения соответствие между всеми левыми, правыми, двусторонними идеалами кольца и их прообразами при отображении f, являющимися соответственно левыми, правыми, двусторонними идеалами кольца (K, +, ×), содержащими I.

Замечание. В ходе доказательства теоремы 4.6.3 было показано, что при произвольном гомоморфизме колец образ любого левого, правого, двустороннего идеала кольца является соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца . Также было показано, что прообраз любого левого, правого, двустороннего идеала кольца является соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца , содержащим Ker f.

Следствие. При произвольном гомоморфизме колец существует взаимно однозначное и сохраняющее включения соответствие между всеми левыми, правыми, двусторонними идеалами кольца и соответственно левыми, правыми, двусторонними идеалами кольца .

Согласно теореме 4.6.2 существует изоморфизм колец , . Применяя теорему 4.6.3, получаем, что f задает требуемое взаимно однозначное соответствие между идеалами кольца и кольца , такое что , .

Дата добавления: 2014-01-07