Основные понятия. Раздел 2. Математическая логика Логические представления · описание исследуемой сис­темы · процесса · явления в виде выс­казываний V

Лекция

Раздел 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Логические представления

· описание исследуемой сис­темы · процесса · явления в виде выс­казываний v элементарных v совокупности сложных составленных из простых v и логических связок между ними

Логические представления характеризуют свойства и набор допустимых преобразо­ваний над ними v операции v и правила вывода Логические представления составляют из символов по средствам, которыхреализую­т законы логики - правильные методы рассуждения, разработанные в формальной математической логике.

Глава 4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

это способы и правила формального представления выска­зываний построение новых высказываний из уже имеющихся с помощью логически выдержанных преобразовании методы установления истинности или лож­ности высказываний

Математическая логика включает два раздела: 1. логика высказываний 2. ло­гика предикатов

Рис. 4.1

Для построения логики высказываний и ло­гики предикатов ввели два способа, два языка, на основе которых базируются фор­мальная логика - алгебра логики и логические исчисления. Между понятиями языков формальной ло­гики имеет место взаимно однозначное соответствие – изоморфизм, который обеспечивает единство законов логики, и допустимых преобразо­ваний

Основной объект логики – высказывание это повествовательное предложение, утвер­ждение, суждение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Все научные знания: законы, яв­ления в физике, химии, биологии, математические тео­ремы, события повседневной жизни, ситуации, воз­никающие в экономике и процессах управления, фор­мулируют в форме высказывания. Повелительные, вопро­сительные и бессмысленные предложения не выс­казывания.

“Дважды два - четыре” “Регис­трация фирмы требует наличия ее устава” “Мы живем в XXI веке”, “Рубль - российская валюта”, “Алеша - брат Олега” “Операции объединения, пересечения и дополнения являют­ся булевыми операциями над множествами” “Человек смер­тен” “От перестановки мест слагаемых сумма не меняет­ся” “Сегодня понедельник” “Если идет дождь, вам следует взять зонт”

Для операций над предложениями как высказываниями надо знать истинность каж­догопредложения. В ряде случаев истинность или ложность высказывания зависит от описания конкретной реальности, системы, процесса, явления, тогда говорят: - Данное высказывание истинно (ложно) в данной интерпретации (данном контексте) и предполагают, что контекст задан и высказывание истинно.

Высказывание простое (элементарное), если его нельзя уменьшить и можно интерпретировать как смысловой элемент множества, не содержащий логических связок.

Сложным (составным) называется высказывание, составленное из про­стых высказываний с помощью логических связок.

В речи, при описании явле­ния, роль связок при составлении из простых предложений сложных высказываний используют часть речи со­юзные слова “и”, “или”, “не”;

слова “если..., то”, “либо... либо” (в разделительном смысле), “тогда и только тогда, когда” и др.

В логике высказываний в сложном высказывании значение связки опреде­ляют однозначно, и это дает основание для перехода к операциям ло­гики высказываний.

Операции ло­гики высказываний

Конъюнкция (операция “И”, логическое произведени­е) двух высказываний Р и Q это высказывание, истинно, если оба высказывания истинны, и ложное - во противном случае. Обозначают: P&Q; Р Ù Q, P·Q

Чита­ют: “Р и Q”.

Дизъюнкция (операция "ИЛИ”, логическая сумма) двух высказываний Р и Q это высказывание, ложное в случае, когда оба высказывания ложны, и истинное - во всех других случаях.

Обозначают: Р Ú Q, Р + Q

Читают: “Р или Q";

Понимают: неразделительное “или”.

Отрицание (инверсия) высказывания Р это высказывание, истинное, если высказывание Р ложно, и ложное - в противном случае. Обозначают: , ØР

Читают: “не Р”

“неверно, что Р”.

Импликация (логическое, следование) двух высказыва­ний Р и Q это высказывание, ложно, когда Р истин­но, a Q ложно; во всех других случаях - истинное.

Обозначают: Р ® Q, P É Q

Читают: “если Р, то Q”,

“Р влечет Q”,

“из Р следует Q”

Называют: Высказывание Р - по­сылкой импликации

Высказывание Q - заключением.

Эквивалентность (эквиваленция, равнозначность) двух высказываний Р и Q это высказывание, истин­но, когда истинные значения Р и Q совпадают, и лож­ное - в противном случае.

Обозначают: Р ~ Q, P º Q, Р «Q

Читают: “Р эквивалентно Q",

“Р, если и только если Q",

“Р равнозначно Q”.

Неравнозначность (исключающее “ИЛИ”, сложение по модулю 2) двух высказываний Р и Q это высказы­вание, истинно, когда истинные значения Р и Q не со­впадают, и ложное - в противном случае.

Обозначают: Р Å Q, РD Q

Читают: “либо P либо Q”

“или Р или Q”

Понимают - в разделительном смысле.

Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки составляют алфавит языков логики высказываний, алгебры логики и исчисления высказываний.

С помощью алфавита можно построить логи­ческие формулы.

Пример: более точное определение логической формулы, как в мате­матической логике.

Выражение, составлен­ное из обозначений, высказываний и связок, скобок называют- логической формулой, если оно удовлетворяет условиям:

· любая переменная, обозначающая высказывание - фор­мула,

· если А и В - формулы, то

(А & В) конъюнкция произведение

(Р Ú Q) дизъюнкция сложение

(ùА) инверсия отрицание

(P®Q) импликация следование

(P~ Q) эквиваленция равнозначность

(Р Å Q) неравнозначность сложение по модулю 2

Дата добавления: 2014-01-07