Скалярное произведение двух векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов и называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

=. (8.1)

Теорема 8.1. Скалярное произведение двух векторов и равно нулю векторы и перпендикулярны.

Доказательство.

Необходимость. Пусть , т.е. . Это значит, что: 1) либо 2) либо 3) либо т.е. 1)

2) 3) . А т.к. направление нуль-вектора не определено, то можно считать, что он перпендикулярен любому вектору. Следовательно, в любом из 3-х случаев .

Достаточность. Пусть и

Теорема доказана.

Свойства скалярного произведения:

V₁. коммутативность

V₂. дистрибутивность

V₃. однородность

V₄. . неотрицательность

▲ (8.2)

Доказательство: 1) .

2) .

3) .

4) . ▲

ð Определение. Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом вектора.

ð Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Следствие. Модуль вектора равен арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата этого вектора

. (8.3)

Из свойств и определения скалярного произведения двух векторов следует, что

(8.4)

u На основании указанных свойств скалярное умножение двух линейных комбинаций векторов производится аналогично умножению одного многочлена на другой.

Например:

.

 Определение. n –мерное векторное пространство, удовлетворяющее аксиомам скалярного умножения V₁-V₄, называют евклидовым векторным пространством и обозначают .

 Определение. Аффинное пространство А ⁿ, удовлетворяющее аксиомам V₁-V₄, называют евклидовым точечно-векторным пространством и обозначают .

u В литературе пространства обозначают через . В таких случаях из контекста определяют, какое именно пространство имеют в виду.

Определение. Геометрию, которая изучает свойства евклидовых пространств, называют евклидовой.

Дата добавления: 2014-01-07