Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Завдання для самостійної роботи12.3. Привести словесне формулюваннятеореми 12.14

Завдання для самостійної роботи12.2. Довести інші твердженнятеореми 12.13.

Теорема 12.14 (Про інваріантність форми першого диференціала ).

,

тобто, .

 

 

Доведення. Якщо функція диференційована в точці , а функція - в точці , де , то за теоремою про похідну композиції функцій випливає, що існує похідна складної функції в точці і при цьому . Тому, згідно теореми 12.12, функція диференційована в точці і її диференціал обчислюється за формулою:

,

що і потрібно було довести.

 

Означення 12.7. Нехай функція диференційована в деякій точці і її диференціал становить . Якщо функція в свою чергу є диференційована в точці , то її диференціал називають другим диференціалом функції в точці і позначають , тобто, . Якщо - диференційована в точці функції, то її диференціал називають третім диференціалом функції і позначають , тобто, . І так далі. Взагалі, якщо існує -ий диференціал функції в точці , і він, як функція аргументу , є диференційованим, то диференціал від цієї функції називається диференціалом -го порядку функції в точці , тобто,

.

При цьому кажуть, що функція є разів диференційованою в точці , або просто -диференційованою.

Теорема 12.14 (Про формулу n-го диференціала). 1 ).Функція є разів диференційованою в точці тоді і тільки тоді, коли вона має в цій точці похідну -го порядку . При цьому, (12.2),

де позначено

2). Якщо функція є двічі диференційованою в точці , а функція - двічі диференційована в точці , де , то складна функція є двічі диференційованою в точці , і її диференціал обчислюється за формулою:

.

Доведення. 1). Перше твердження теореми є наслідком теореми 12.12 та означення 12.7. Дійсно, згідно теореми 12.12 функція є диференційованою в точці тоді і тільки тоді, коли вона має в цій точці першу похідну , при цьому . В свою чергу, функція буде диференційованою в точці тоді і тільки тоді коли існує похідна функції . Але множник є постійною величиною, тому похідна існує тоді і тільки тоді, коли функція має похідну, тобто існує друга похідна функції . При цьому , тому,

.

Застосувавши метод математичної індукції, переконуємось у тому, що формула (12.2) справджується для довільного натурального числа .

2) Нехай тепер функція є двічі диференційованою в точці , функція - двічі диференційована в точці , і . Тобто, і. За теоремою про похідну складної функції випливає, що існує похідна композиції в точці і при цьому

.

В свою чергу, кожний множник останнього добутку має похідну, тому, згідно теореми про похідну добутку функцій, в точці існує похідна

.

Отже, за першим твердженням теореми слідує, що функція буде двічі диференційованою в точці . Формулу другого диференціалу складної функції можна вивести, застосувавши теорему про інваріантність форми першого диференціалу та теорему про диференціал добутку. Дійсно,

Таким чином, якщо, то

,

що і потрібно було довести.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Диференціал і диференційовані функції | Истоки современной системы работы с детской книгой
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 287; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.