Диференціал і диференційовані функції

Означення 12.6. Нехай функція визначена в деякому околі точки . Будемо говорити, що функція диференційована в точці , якщо її приріст в точці має вигляд

,

при цьому лінійну частинку приросту називають диференціалом або першим диференціалом функції в точці і позначають , а приріст аргументу позначають , тобто, .

Теорема 12.12 (Про необхідні і достатні умови існування диференційованості функції ). Функція диференційована в точці тоді і тільки тоді, коли вона має скінчену похідну в цій точці, при цьому , тобто, . Доведення. 1). Необхідність. Нехай функція є диференційованою в точці . Отже, її приріст в деякому околі точки можна подати у вигляді . Але тоді існує границя:

Значить, функція має похідну в точці і . Звідки, .

2). Достатність. Нехай функція має скінчену похідну в точці . Тоді за теоремою 8.1 функцію в деякому околі точки можна подати у вигляді де при . Тому, де .

Отже, функція є диференційованою в точці і її диференціалом є добуток похідної на . Теорему доведено.

Теорема 12.13 (Про диференціювання константи, суми, різниці, добутку у частки функцій ). Нехай функції і диференційовані в точці . Тоді функції і теж є диференційованими в точці (остання при умові, що ), і при цьому: а) , якщо ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) де .

Доведення. Твердження теореми слідує за теоремами 8.4 і 12.12. Доведемо, наприклад, твердження в). Якщо функції і диференційовані в точці , то за теоремою 12.12 випливає, що в цій точці функції і мають скінчені похідні і . Отже, згідно теореми 8.4 функція теж має скінчену похідну . Тоді за теоремою 12.12 слідує, що функція є диференційованою в точці і її диференціал становить:

що і потрібно було довести.

Дата добавления: 2014-01-07