Точки перегину

.

Знаходження екстремумів функцій

Означення 12.3. Будемо говорити, що в точці функція має:

а) локальний максимум і позначати , якщо

;

б) строгий локальний максимум , і позначати , якщо

;

в) локальний мінімум і позначати , якщо

;

г) строгий локальний мінімум , і позначати , якщо

;

д ) екстремум (приймає екстремальне значення), і позначати

, якщо .

Теорема 12.7. (Необхідна умова екстремуму). Нехай функція в точці

приймає екстремальне значення і в цій точці існує скінчена похідна , тоді

. Тобто, .

Доведення. Твердження теореми випливає з теореми Ферма. Дійсно, нехай, наприклад, , тоді за означенням 12.3 знайдеться таке додатне число , що число є найбільшим значенням функції в інтервалі . Так як, за умовою теореми в точці існує скінчена похідна , то згідно теореми Ферма, , що і потрібно було довести.

Означення 12.4. Будемо говорити, що проходячи через

а) функція змінює свій знак з “+” на “-”, і будемо позначати , якщо

б) функція змінює свій знак з “-” на “+”, і будемо позначати , якщо функція змінює свій знак з плюса на мінус.

Теорема 12.8 (Про достатні умови екстремуму в термінах першої похідної). Якщо функція має похідну в усіх точках інтервалукрім, можливо, однієї , в якій вона неперервна, і, проходячи через похідна функції змінює свій знак, то тоді в цій точці функція має екстремум. При цьому, функція має у точці строгий локальний максимум, якщо похідна , проходячи через цю точку, змінює свій знак з плюса на мінус, і функція має у точці строгий локальний мінімум - у протилежному випадку. Тобто,

Доведення. Нехай функція неперервна в точці , і при цьому похідна , проходячи через точку змінює, наприклад, свій знак з “+” на “-”. Тоді з теореми 12.3 випливає, що при деякому

Аналогічно доводиться випадок строгого мінімуму. (Перевірити самостійно!!!). Теорему доведено.

Зауваження 12.4. Якщо в умовах попередньої теореми існує похідна , то за теоремою 12.7 ця похідна дорівнює нулю. Точки, в яких похідна функції рівна нулю називають ще стаціонарними або критичними.

Теорема 12.9 (Про достатні умови екстремуму в термінах вищих похідних).

Нехай в деякій точці інтервалу , на якому означена функція і має всі похідні до (n-1) – го порядку включно, функція має відмінну від нуля похідну ще і n – го порядку, причому всі похідні меншого порядку у цій точці дорівнюють нулю. Тоді, якщо число n – парне, то в точці функція має екстремум, при цьому цей екстремум є локальним максимумом, коли n-та похідна від’ємна, і цей екстремум є локальним мінімумом, коли – додатна. Якщо ж число n – непарне, то в точці функція не має екстремуму.

Доведення. Нехай функція означена і має всі похідні до (n-1)-го порядку включно на деякому інтервалі і n-ту похідну в точці . Тоді за теоремою Пеано про формулу Тейлора (теорема 11.3) справджується рівність (11.5):

Але за умовою теореми . Тому,

Звідки маємо:

(12.1).

За означенням нескінченно малої величини більшого порядку , тому, знайдеться таке число , що .

Звідки слідує, що знаки числа і числа однакові. Таким чином, і знак добутку, що стоїть у правій частині рівності (12.1), а разом з цим і різниці , співпадає зі знаком числа , якщо число - парне, і, тому, множник - додатний. Отже, справджується перше твердження теореми.

Якщо ж число - непарне, то для довільного числа множник - додатний, коли , і множник - від’ємний,, коли .

Отже, у - околі точки приріст приймає значення різних знаків. Таким чином, у цьому випадку функція не має екстремуму в точці .

Теорему доведено.

Означення 12.5. Будемо говорити, що точка є точкою перегину графіка функції , і позначати для , якщо:

,

тобто, функція має різні напрямки строгої опуклості зліва і справа від точки , і є неперервною в цій точці.

Теорема 12.10. (Необхідна умова точки перегину ). Нехай точка є точкою перегину графіка функції , і в цій точці функція має другу похідну. Тоді ця похідна дорівнює нулю. Тобто,

Доведення. За означенням 12.5 точки перегину графіка функції та за теоремою 12.8 випливає, що в точці перегину похідна функції приймає своє екстремальне значення, тобто . Так як в цій точці існує друга похідна , то та за теоремою 12.7 про необхідну умову екстремуму ця похідна дорівнює нулю. Що і потрібно було довести.

Теорема 12.11. (Про достатні умови існування точки перегину графіка функції ). Якщо функція має другу похідну в усіх точках інтервалукрім, можливо, однієї , в якій вона неперервна, і, проходячи через цю точкудруга похідна функції змінює свій знак, то тоді точка є точкою перегину графіка функції .

Доведення. Якщодруга похідна функції змінює свій знак, проходячи через точку, то за теоремою 12.6 слідує, що cправа і зліва від цієї точки функція має різну направленість опуклості, тобто, згідно означення 12.5, точка є точкою перегину графіка функції . Теорему доведено.

Рекомендована схема дослідження функції і побудови її графіка

1. Знаходження області визначення функції.

2. Визначення періодичності, парності і непарності, точок перетину графіка функції з координатними осями.

3. Дослідження функції методами теорії границь: знаходження області неперервності функції, точок розриву і визначення їх типу розриву, знаходження асимптот графіка функції.

4. Дослідження функції за допомогою першої похідної: знаходження похідної, побудова схеми розподілу її знаків, визначення інтервалів монотонності функції та точок екстремумів.

5. Дослідження функції за допомогою другої похідної: знаходження другої похідної, побудова схеми розподілу її знаків, визначення інтервалів опуклості функції та точок перегину графіка функції.

6. Зведення результатів дослідження в єдину таблицю.

7. Побудова за таблицею результатів дослідження функції її графіка.

Дата добавления: 2014-01-07