Признак Даламбера

Теорема 14.1.9. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел отношения (n +1)-го к n -му члену: . Если l <1, ряд сходится; если l >1, расходится; если l =1, вопрос о поведении ряда остается нерешенным.

Доказательство. Из определения предела следует, что для любого e>0 существует такой номер N, начиная с которого выполняется неравенство . После преобразования получаем, что для n >N .

1) Пусть l <1, и q – любое число, удовлетворяющее условию l < q <1.

^{0 l q 1}

Выберем e= q - l >0. Тогда для n >N выполняется неравенство , т.е. a_n+1<a_nq. Это неравенство запишем для n >N.

a_N+1<qa_N, , a_N+2<a_N+1q<a_Nq²,… a_N+k<a_Nq^k,…

Chfdybv lfyysq hzl a₁+a₂+a₃+…+a_N+a_N+1+a_N+2+…+a_N+k+… c utjvtnhbxtcrbv hzljv a_N+qa_N+q²a_N+…+q^ka_N…

Этот геометрический ряд сходится, т.к. | q |<1. Следовательно, на основании признака сравнения сходится ряд, полученный из данного ряда путем отбрасывания первых N членов. Но тогда в соответствии со свойствами сходящихся рядов (теорема 14.1.1) сходится и данный ряд ;

2) Пусть l >1.

0 1 l -e l l+e

Если , то существует такой номер N, начиная с которого, дроби

попадают в сколь угодно малую e-окрестность точки l и, следовательно, для n >N дробипринимают значения большие единицы, т.е. или . Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится.

Примеры. Исследовать сходимость рядов.

1.

, , – ряд сходится

2. , , ,

– ряд расходится

3. , .

О поведении ряда ничего нельзя сказать, если использовать признак Даламбера. Но можно заметить, что , т.е. не выполняется необходимый признак сходимости. Ряд расходится.

4.

Используем признак Даламбера. .

О поведении ряда ничего сказать нельзя. Используем другие способы определения сходимости. Преобразуем общий член ряда . Найдем частичную сумму ряда . .

Существует предел частичной суммы. Значит, ряд сходится, и его сумма равна 1.

Сравнение рассматриваемых рядов с геометрическим рядом позволяет доказать их сходимость (расходимость).

Дата добавления: 2014-01-07