Неперервність оберненої функції

В т еоремі 6.4 фігурує умова існування оберненої функції, тому нас цікавить достатня умова існування оберненої функціїта умови її неперервності.

Теорема 6.10 (Про достатні умови існування оберненої функції). Нехай функція відображає множину на множину і є строго монотонною функцією. Тоді функція має обернену, яка теж є стого монотонною.

Доведення. Поставимо у відповідність кожному елементу його прообраз Нам потрібно довести, що для кожного існує тільки один прообраз цього елементу і що більшому образу відповідає більший прообраз , якщо функція - зростаюча, і навпаки - в противному разі.

По-перше, існування хоч одного прообразу випливає з того, що відображення є сюр'єцією, тобто відображенням множини A на множину B.

По друге, єдиність існування прообразу є наслідком строгої монотонності функції . Це легко бачити від супротивного. Дійсно, нехай, наприклад, функція є строго зростаючою, і припустимо, що якась точка має два прообрази і , які не співпадають,наприклад, Але тоді, внаслідок строгого зростання функції , виконена нерівність що неможливо. Отже, припущення не вірне, тобто,

По-третє, якщо, наприклад, функція є строго зростаючою, і , то тоді Бо в противному разі нерівність не виконується. Отже, обернена функція теж є строго зростаючою. Теорему доведено.

Теорема 6.11 (Про достатні умови неперевності оберненої функції на відрізку). Нехай де , і нехай:

1) на (тобто, - строго зростає на );

2) (функція неперервна на ).

Тоді має обернену функцію , яка теж строго зростає і є неперервною на . При цьому, .

Доведення. За теоремою Больцано-Коші слідує, що відображення є сюрьєкцією відрізка на відрізок , де і . А за попередньою теоремою випливає, що строго зростаюча функція має обернену функцію , яка теж є строго зростаючою, і, тому, .

Доведемо неперервність оберненої функції. Нехай - довільна послідовність точок відрізка , яка збігається до деякої точки цього відрізка. Покажемо, що тоді відповідна послідовність прообразів відображення збігається до точки , тобто, .

Від супротивного. Припустимо, що . Тоді існує таке число , для якого знайдеться нескінчена підпослідовність така, що відстань її точок до точки не менша за число , тобто, має місце нерівність . Так як підпослідовність - обмежена, то з неї можна вилучити збіжну до деякої точки підпослідовність , для елементів якої теж виконана нерівність .Таким чином, точка не співпадає з точкою ,отже, (за однозначністю функції ) , і при цьому . Тому, за неперервністю функції маємо: (6.7).

Але послідовність є підпослідовністю послідовності , яка збігається до числа . Отже, , що рівносильно рівності , яка суперечить (6.7). Таким чином, припущення не вірне. Теорему доведено.

Теорема 6.12 (Про достатні умови неперевності оберненої функції на інтервалі). Нехай де , і нехай:

1) на функції ; 2) .

Тоді має обернену функцію , яка теж строго зростає і є неперервною на . При цьому,

Доведення. Існування і строге зростання оберненої функції слідує за теоремою 6.10. Доведемо її неперервність. Нехай - довільна точка інтервалу , яка є образом деякої точки при відображенні . Тоді знайдеться відрізок, який містить точку і сам міститься у інтервалі . Наприклад, це відрізок , де

.

Тоді на відрізку виконуються умови попередньої теореми, і, отже, в точці обернена функція є неперервною, що і потрібно було довести.

Завдання для самостійної роботи 6.5: Довести, що теореми 6.10 і 6.11 справджуються і за умови строгого спадання функції .

Зауваження 6.4. За теоремами 6.10 і 6.11 слідує, що їх твердження справджуються і за умови задання функції на пів відрізку або .

Дата добавления: 2014-01-07