Теорема 7.1 ( Про неперервність основних елементарних функцій )

.

Неперервність основних елементарних функцій.

Лекція № 7.

Приклад 7.1. Розглянемо функцію . Виберемо довільні числа та . Тоді за нерівністю слідує нерівність

Отже, має місце рівність , тобто, функція є неперервною у будь-якій точці числової осі.

Тоді за теоремою про збереження неперервності функцій при арифметичних операціях над ними (теорема 6.1) функція теж є неперервною у будь-якій точці при довільному натуральному показнику степеня .

Аналогічно, за тією ж теоремою функція є неперервною на всій дійсній числовій осі крім точки .

Так як функція , , є строго зростаючою і неперервною на , то обернена до неї функція теж є неперервною (за теоремою про неперервність оберненої функції).

Аналогічно, функція , , є неперервною на пів осі .

Тоді, знову ж таки за теоремою про збереження неперервності функцій при арифметичних операціях над ними, функції та , , є неперервними у кожній точці їх областей визначення.

Наслідок 7.1. Степенева функція є неперервною у кожній точці її області визначення при будь-якому раціональному показнику степеня .

Всі основні елементарні функції, тобто функції

є неперервними у кожній точці їх областей визначення.

Доведення: 1) Доведемо, спочатку, що показникові функція , є неперервною у нулі.

Для цього покажемо, що (7.1).

Нехай Тоді знайдеться таке натуральне число , що дла всіх більших за чисел виконуються нерівності . Але, , тому, за теоремою про три послідовності, ,

Якщо , то , так як . Таким чином, рівність (7.1) доведено для всіх .

Виберемо довільну послідовність додатних чисел, яка збігається до нуля: і Покладемо де - ціла частина числа . Тоді, Тому виконуються нерівності , якщо , і , якщо . Але послідовності чисел та є під послідовностями послідовності , яка збігається до одиниці при . Тому, . А значить, за теоремою про три послідовності, маємо Отже, згідно означення границі функції за Гейне, , тобто, показникова функція є неперервною у нулі зправа. Але, Таким чином, функція неперервна з обох сторін в точці , тому, показникова функція є неперервною у нулі.

Нехай точка - довільна. Позначимо , тоді маємо

. Отже, показникова функція є неперервною на всій числовій осі.

2) Нехай . Так як логарифмічна функція є оберненою до показникової, неперервної і строго монотонної, то неперервність логарифмічної функції випливає з теореми про неперервність оберненої функції (теорема 6.12).

3) Нехай Якщо показник степеня - раціональний, то неперервність функції була доведена раніше (приклад 7.1).Якщо - ірраціональне число, то

Тому, в цьому випадку, неперервність степеневої функції випливає з теореми про збереження неперервності функцій при арифметичних операціях над ними (теорема 6.1) та про неперервність складної функції (теорема 6.3).

4) Доведемо неперервність функції

Дійсно,

=

Тому, за означенням границі по Коші,

Отже, функція неперервна на множині дійсних чисел .

5) Неперервність функції випливає з неперервності функцій та , так як

6) Неперервність функцій і на відповідних областях їх визначення слідує за теоремою про збереження неперервності функцій при арифметичних операціях над ними (теорема 6.1).

7) Неперервність функцій і на їх областях визначення слідує за теоремами про неперервність оберненої функції (теореми 6.11-6.12) і вище доведеного.

Доведення теореми закінчено.

Перейдемо до доведення теореми про класичні границі функцій у точці нуль.

Доведення теореми 5.10. І.1) Границю було доведено в теоремі 5.7.

2) Так як функція неперервна в точці нуль і має границю , то за теоремою про збереження арифметичних операцій при взятті границі функції (теорема 5.4) маємо: .

3) Функція неперервна, і,тому, має границю в нулі, а також існує границя функції , і, таким чином, функцію можна вважати неперервною у нулі, якщо доозначити її у цій точці одиницею. Отже, згідно теореми 6.2 про границю складної функції, маємо .

4) Аналогічно, (Довести самостійно!!!).

5) Точно так, згідно теореми 6.2 про границю складної функції та теореми про збереження арифметичних операцій при взятті границі функції (т еорема 5.4) маємо:

.

6) Аналогічно, .

ІІ. 1) Нехай . Покладемо . Тоді . У теоремі 5.8 було доведено, що . Отже, якщо доозначити функцію у точці як , то функція стає неперервною у цій точці. Функція має неперервну обернену, і . Тому, згідно теореми 6.4, виконавши заміну змінної , отримаємо: .

Аналогічно, .

Так як існують границі , то, згідно теореми 6.5, існує границя

.

2) Так як функція є неперервною і існує границя то згідно теореми про границю складної функції (теорема 6.2), існує границя .

3) Відповідно, при маємо: .

4) Так як функція є неперервною і монотонною, то вона має неперервну обернену функцію Отже, згідно тереми 6.4, можна виконати заміну , маємо:

.

5) Відповідно, якщо , то .

6) Аналогічно, функція є строго монотонною і неперервною в лівому і правому околі точки Отже, користуючись аргументацією попереднього пункту, і виконавши заміну , та враховуючи співвідношення , маємо

Теорему доведено.

Дата добавления: 2014-01-07