Нескінчено малі та нескінчено великі величини

Означення 7.1. Нехай функція визначена в деякому, можливо виколотому, околі точки . Кажуть, що функція є нескінченно малою (великою) величиною в точці якщо (відповідно, ).

Означення 7.2. Нехай функціяі g є нескінченно малі величини в точці Тоді кажуть, що:

а) є нескінченно малою величиною вищого порядку ніж g, і позначають , якщо ;

б) і g є нескінченно малими величинами одного порядку, якщо

;

в) є нескінченно малою величиною нижчого порядку ніж g, відповідно, g є вищого порядку ніж , якщо ;

г) і g є непорівнянні, якщо ;

д) і g є еквівалентними, і пишуть , якщо

е) Нескінченно мала величина має головне значення якщо

ж) є нескінченно малою величиною по порядку k > 0 по відношенню до g, якщо

Зауваження 7.1. Аналогічне означення дається і для нескінченно великих величин ( написати самостійно!!! ).

Як наслідок з теореми 5.10 випливає таке твердження:

Теорема 7.2 (Про таблицю класичних еквівалентностей). Нехай , тоді:

1) , , , , 2), 3), 4) , 5) де функція називається гіперболічним синусом, 6) , де функція називається гіперболічним косинусом.

Доведення. Еквівалентності 1) -4) елементарно випливають за теоремою 5.10 і означенням еквівалентності нескінченних малих величин.

7)

.

9)

.

Теорему доведено.

Теорема 7.3 (Про деякі властивості відношення еквівалентності ). Нехай функції визначені в деякому околі точки . Тоді:

1) Якщопри , то , при .

2) Якщопри , то: .

3) при <=> при .

4) , .

5) при , при .

6) при => при .

7) при , при .

Доведення. 1) Нехай і при . Тоді

. Отже, при .

2) Твердження другого пункту теореми є наслідком рівностей . Так як,згідно умови теореми, існує границя відношень то границя лівої частини, приведених вище рівностей, існує тоді і тільки тоді, коли існує границя правої частини рівностей.

3) Нехай при , тоді

. Тобто, різниця є нескінченно малою величиною вищого порядку ніж . З іншого боку, якщо то

7) Нехай при , тоді . Отже, якщо доозначити відношення функцій і у точці одиницею, то воно стає у цій точці неперервним. Тому, за теоремою про границю складної функції слідує існування границі , тобто, , що і потрібно було довести.

Завдання для самостійної роботи 7.1: Довести пункти 4)-6) попередньої теореми.

Завдання для самостійної роботи 7.2: Привести словесне формулювання теореми.

Дата добавления: 2014-01-07