Скалярное произведение векторов

Определение 1.5.1. Пусть и – произвольные векторы. Скалярным произведением вектора на вектор называется число (скаляр), которое обозначается и определяется следующим образом:

Скалярный квадрат вектора т.е. неотрицательное число будем обозначать Из определения вытекают следующие формулы для вычисления длины произвольного вектора и величины угла между ненулевыми векторами и через скалярное произведение:

(1)

Приведем далее утверждение технического характера, оно понадобится нам при доказательстве одного из свойств скалярного произведения.

Лемма 1.5.1. Пусть – прямая с направляющим вектором , – базисный вектор единичной длины множества Тогда число есть координата ортогональной проекции вектора на прямую в базисе .

Доказательство. Отложим от точки вектор получим точку В. Пусть – ортогональная проекция точки В на прямую (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Тогда вектор есть ортогональная проекция вектора на прямую Пусть – координата вектора в единичном базисе В § 1.3 отмечалось, что если векторы и сонаправлены, и если векторы и противоположно направлены. Заметим, что в обоих случаях Действительно, если то и если же то и 

Следующее утверждение описывает основные свойства скалярного произведения, в частности, показывает, как скалярное произведение связано с операциями сложения векторов и умножения векторов на числа.

Утверждение 1.5.1. Для любых векторов и любого числа верны следующие равенства:

(i) – свойство коммутативности скалярного произведения;

(ii)

(iii)

Справедливость равенств (ii) и (iii) означает, что скалярное произ­ведение билинейно.

(iv)

Свойство (iv) означает, что равенство нулю скалярного произведения двух векторов является критерием их ортогональности.

Доказательство. (i) Коммутативность скалярного произведения вытекает непосредственно из определения.

(ii) Все три числа равны нулю, если хотя бы один из векторов нулевой или Если же векторы ненулевые и то каждое из трех указанных выше чисел равно

(iii) В силу коммутативности скалярного произведения достаточно доказать справедливость первого из двух равенств в (iii). Если хотя бы один из трех векторов нулевой или то равенство, очевидно, верно. Пусть – ненулевые векторы. Пусть – величина угла между векторами и , – величина угла между векторами и – величина угла между векторами и Отложим от некоторой точки О вектор . Получим точку А, отличную от О. Обозначим прямую, проходящую через O и А. В силу леммы 5.1, имеем:

–

координаты ортогональных проекций векторов на прямую в базисе Теперь, используя вначале утверждение 1.4.1 о том, что проекция суммы векторов равна сумме проекций, а затем следствие 1.4.1 о том, что координата суммы векторов равна сумме координат, получаем, что

Умножив обе части последнего равенства на число имеем:

т.е.

(iv) Если то выполняется хотя бы одно из условий:

или или

Из каждого условия следует ортогональность векторов и . Обратно, если , то хотя бы один из векторов нулевой, или Следовательно, 

Пусть векторы и заданы своими координатами в некотором базисе Пользуясь билинейностью, скалярное произведение можно выразить через скалярные произведения базисных векторов:

(2)

Построим таблицу умножения (скалярного) базисных векторов:

В этой таблице число обозначает скалярное произведение В силу свойств скалярного произведения имеем: Теперь скалярное произведение (2) векторов и коротко можно записать в виде

(3)

Удобно использовать также матричные обозначения. Пусть

– координатные столбцы векторов и ;

– матрица попарных скалярных произведений базисных векторов. Матрица называется матрицей скалярного произведения в базисе Равенство (3) теперь записывается в виде:

Наиболее простой вид формула (3) принимает, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе. Действительно, пусть – ортонормированный базис. Тогда скалярные квадраты базисных векторов равны 1, а попарные произведения различных базисных векторов равны 0, т.е.

Таким образом, матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе – единичная. В этом случае скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

а формулы (1) для длины вектора и величины угла между векторами имеют вид:

()

Если векторыи заданы своими координатами в ортонормированном базисе плоскости, то получаем аналоги формул ():

(4)

Дата добавления: 2014-01-07