Векторное произведение векторов

Определение 1.6.1. Пусть и – неколлинеарные векторы. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, который обозначается и определяется следующими условиями:

(i)

(ii)

(iii) упорядоченная тройка векторов – правая.

Если и – коллинеарные векторы, то их векторное произведение полагают равным нулевому вектору:

В случае неколлинеарных векторов условие (i) определяет только длину (ненулевую) вектора . Условиям (i) и (ii), очевидно, удовлетворяют два взаимно противоположных вектора. И только все три условия (i), (ii), (iii) задают вектор однозначно (рис. 6.1).

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Отметим, что для неколлинеарных векторов длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 6.2).

Рассмотрим геометрическую конструкцию, позволяющую строить векторное произведение векторов, первый из которых имеет единичную длину, Пусть – плоскость, перпендикулярная вектору (рис. 6.3). Отложим векторы и от точки получим соответственно точки и Пусть – ортогональная проекция точки на плоскость . Если векторы и коллинеарны, то Если векторы и не коллинеарны, то Повернем отрезок вокруг точки на угол в направлении, противоположном движению часовой стрелки, если смотреть на плоскость из точки Получим отрезок В случае коллинеарности и отрезок – нулевой, следовательно, т.е. вектор совпадает с вектором Убедимся, что и в случае, когда векторы и не коллинеарны (– величина угла между и Проверяем условия (i),(ii),(iii) определения 6.1:

(i)

(ii) (по построению);

(iii) тройка – правая (по построению).

Рис. 6.3 Рис. 6.4

Таким образом, векторное произведение единичного вектора на вектор получается последовательным выполнением двух операций: ортогональной проекции вектора на плоскость (получаем вектор ) и последующим поворотом на угол полученного вектора в плоскости вокруг точки (получаем вектор ).

Ранее отмечалось (см. § 1.3), что проектирование является линейным оператором, в частности, проектирование перестановочно с операцией сложения векторов:

Аналогичным свойством обладает и поворот векторов плоскости вокруг фиксированной точки на угол т.е.

[1]

Убедимся в справедливости последнего равенства в случае, когда векторы и неколлинеарны. В этом случае сумму можно найти по правилу параллелограмма: (рис. 6.4). Повернем параллелограмм как целое вокруг точки на угол При этом векторы также повернутся на угол и перейдут соответственно в векторы Так как после поворота параллелограмм останется параллелограммом, то Это и означает справедливость доказываемого равенства. Похожим образом рассматривается случай коллинеарных векторов.

Сказанное выше позволяет утверждать, что для любого единичного вектора и любых векторов и справедливо равенство:

(1)

Установим теперь основные свойства векторного произведения.

Утверждение 1.6.1. Для любых векторов и любого числа верны следующие равенства:

(i) – свойство антикоммутативности векторного произведения;

(ii)

(iii)

Справедливость равенств (ii) и (iii) означает, что векторное произ­ведение (как и скалярное) билинейно.

(iv)

Свойство (iv) означает, что равенство нулю векторного произведения двух векторов является критерием их коллинеарности.

Доказательство. (i) По определению, в случае коллинеарных векторов и имеем: следовательно, доказываемое равенство верно. Если и – неколлинеарные векторы, то для векторов и условия (i) и (ii) определения 1.6.1 совпадают, следовательно, векторы и либо совпадают, либо противоположны. Рассмотрим правую тройку . Тройку можно получить из данной, применяя последовательно две операции: вначале переставляя первые два элемента, а затем меняя третий вектор на противоположный. Поскольку каждая из этих операций меняет ориентацию на противоположную (см. § 1.4), то тройка – правая. Следовательно,

(ii) Если векторы и коллинеарны или то векторы – нулевые, следовательно, они совпадают. Пусть и не коллинеарны и Тогда каждый из векторов имеет длину, равную и сонаправлен с вектором при и противоположно направлен с вектором , если Следовательно,

(iii) Докажем справедливость для любых векторов первого равенства:

(2)

Второе равенство, очевидно, следует из первого, если воспользоваться уже доказанной антикоммутативностью векторного произведения.

Если то доказываемое равенство справедливо, поскольку в обеих его частях стоят нулевые векторы. Пусть Нормируем вектор , т.е. рассмотрим вектор Выше было отмечено (см. равенство (1)), что для любых векторов и верно равенство:

Для завершения доказательства умножим левую и правую части последнего равенства на число и воспользуемся уже доказанным свойством (ii).

Свойство (iv) следует непосредственно из определения векторного произведения. 

Найдем выражение векторного произведения через координаты векторов. Пусть векторы и заданы своими координатами в некотором правом ортонормированном базисе Пользуясь билинейностью векторного произведения, получаем:

(3)

Произведения базисных векторов вычисляем по определению векторного произведения:

Таким образом, таблица умножения (векторного) базисных векторов имеет вид:

Возвращаясь к (3), получаем:

Окончательно, зафиксируем следующую формулу для вычисления векторного произведения векторов:

(4)

Поскольку два вектора и всегда компланарны, то их можно считать векторами некоторой плоскости т.е. В таком случае векторы можно задать координатами в ортонормированном базисе множества Определив вектор получим, очевидно, правый ортонормированный базис множества векторов пространства Так как

и

то в базисе векторы и будут иметь следующие координаты: Согласно (4), их векторное произведение равно:

Из полученной формулы вытекает справедливость следующего утверждения.

Утверждение 1.6.2. Пусть векторы плоскости и заданы своими координатами в ортонормированном базисе. Тогда:

(i) и коллинеарны тогда и только тогда, когда

(ii) если векторы и не коллинеарны, то площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна

Операцию векторного произведения векторов можно рассматривать как отображение

т.е. как бинарную алгебраическую операцию[2] в множестве всех векторов. Ранее отмечалось, что эта операция билинейна и антикоммутативна (утверждение 1.6.1). Отметим, что векторное произведение (в отличие от операции сложения векторов) не ассоциативно, т.е. равенство неверно для любых векторов Например, для векторов правого ортонормированного базиса имеем: однако Тем не менее, для векторного произведения свойство ассоциативности имеет альтернативу.

Утверждение 1.6.3. Для любых векторов верно следующее равенство, которое называется тождеством Якоби:

(5)

Доказательство. Очевидно, что для любых векторов в пространстве можно выбрать такой правый ортонормированный базис в котором векторы будут иметь следующие координаты: Тогда, применяя несколько раз формулу (4), получим:

Легко проверить, что сумма последних трех векторов равна 

Дата добавления: 2014-01-07