Смешанное произведение векторов

Определение 1.7.1. Пусть – упорядоченная тройка произвольных векторов. Смешанным произведением тройки векторов называется число Смешанное произведениеобозначается

Пусть – некомпланарные векторы. Отложим их от некоторой точки получим точки соответственно не лежащие в одной плоскости с точкой Следовательно, отрезки можно считать тремя ребрами параллелепипеда , выходящими из одной вершины (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Этот параллелепипед будем называть параллелепипедом, построенным на векторах Обозначим число, выражающее объем этого параллелепипеда. Введенные обозначения будем использовать в следующей теореме, выражающей геометрический смысл смешанного произведения.

Теорема 6.1. Пусть – некомпланарные векторы. Тогда

Доказательство. Пусть – прямая, проходящая через точку перпендикулярно основанию параллелепипеда, – единичный вектор прямой выбранный так, что тройка – правая (рис.7.2, 7.3). Тогда и где – величина угла между векторами и

Если тройка как и правая, то векторы и лежат в одном полупространстве относительно плоскости основания и (рис. 7.2). В этом случае – длина высоты параллелепипеда, проведенной к основанию и, следовательно,

Рис. 7.2 Рис. 7.3

Если же тройка – левая, то векторы и лежат в различных полупространствах относительно плоскости основания и (рис. 7.3). В этом случае и, следовательно, 

Следствие 1.6.1. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда Другими словами, равенство нулю смешанного произведения трех векторов – критерий их компланарности.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы компланарны. Если и коллинеарны то и, следовательно, Если же и не коллинеарны, то поэтому Следовательно

Достаточность. Пусть Допустим, что не компланарны. Тогда на этих векторах можно построить параллелепипед, объем которого равен По теореме 1.6.1 Получили противоречие с условием достаточности. Следовательно, векторы компланарны. 

Следствие 1.6.2. Для любых трех векторов верны равенства:

Доказательство. Если векторы компланарны, то, согласно следствию 6.1, все шесть рассматриваемых чисел равны нулю. Если векторы не компланарны, то на этих векторах можно построить параллелепипед, объем которого равен и, согласно теореме 1.6.1, все шесть рассматриваемых чисел по абсолютной величине равны Знаки этих чисел зависят от ориентации соответствующей тройки. В § 1.4 отмечалось, что упорядоченные тройки имеют одинаковую ориентацию, а тройки – противоположную. Следовательно, числа равны и противоположны числам 

Пусть векторы , , заданы своими координатами в некотором правом ортонормированном базисе Тогда, согласно формуле (4) из § 1.5, вектор имеет следующие координаты:

Следовательно,

Так как, согласно следствию 6.2, то окончательно получаем следующую формулу для вычисления смешанного произведения векторов по их координатам:

(1)

Согласно следствию 1.6.2, критерием компланарности векторов является равенство нулю определителя (1), составленного из координат векторов в ортонормированном базисе. Далее в § 1.8 будет показано, что это же верно для произвольного базиса (утверждение 1.8.2).

[1] Как показывают приведенные ниже рассуждения, доказываемая формула справедлива для поворота не только на но и на любой другой угол.

[2] См. [ ], §.

Дата добавления: 2014-01-07