Похідна параметрично заданої функції

Лекція №9.

Означення 9.1. Будемо говорити, що на інтервалі параметрично задано функцію , якщо на деякому інтервалі означена пара функцій . Причому функції - неперервні на , а функція є строго монотонною, та .

Зауваження 9.1. При умовах означення 9.1 існує строго монотонна і неперервна функція , яка є оберненою до функції , тобто, . Тоді означена і є неперервної складна функція , тобто, задана композиція функцій .

Теорема 9.1 (Про похідну параметрично заданої функції). Нехай на деякому інтервалі задано параметрично функцію рівняннями і нехай існують похідні .

Тоді існує і похідна , де , і обчислюється за формулою:

(9.1).

Доведення. Дійсно, за умов теореми випливає, що існує строго монотонна і неперервна функція . Причому, за теоремою 8.5 про похідну оберненої функції існує її похідна в точці . Тоді за теоремою про похідну композиції функцій випливає, що існує похідна функції в точці і обчислюється за формулою , що і потрібно було довести.

Дата добавления: 2014-01-07