Обчислення похідних вищих порядків від неявно заданих функцій

Нехай функція задана неявно рівнянням (10.6).

Знайшовши першу похідну, (10.7) диференціюємо ліву і праву частину рівняння по змінній , і враховуючи, що змінна є функцією від , отримаємо рівність виду

(10.8).

Підставляючи з рівняння (10.7) в (10.8), одержимо вираз для :

(10.9).

Діючи аналогічно попередньому випадку, після диференціювання рівняння (10.9), отримаємо рівність , і, відповідно,

, і так далі.

Приклад 10.2. Нехай функція задана умовами (10.10).

Знайдемо . Знайшовши похідні по лівої і правої частини рівняння, маємо:

(10.11).

Диференціюємо рівняння (10.11) ще раз: .Підставивши вираз для з рівності (10.11), маємо ,або, враховуючи рівність (10.10), остаточно отримаємо: (10.12).

Нехай, наприклад, , тоді з (10.10) знайдемо, що . Тому .

Дата добавления: 2014-01-07