Эффективная плотность состояний в валентной зоне

Для того чтобы рассчитать равновесные концентрации электронов n₀ и дырок p₀ необходимо рассчитать значения интеграла Ферми-Дирака (2.52) и (2.56), что представляет значительные трудности для всего диапазона положения уровня Ферми в зонах η. Аналитические решения для интеграла Ферми-Дирака существуют только для крайних случаев – невырожденного и сильно-вырожденного полупроводника.

Рассмотрим три случая.

Первый соответствует невырожденному примесному полупроводнику (рис. 2.7, область A, рис. 2.8).

Принято считать, что полупроводник не вырожден, если:

или (2.57)

Это означает, что в невырожденном донорном полупроводнике уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько кТ. В этом случае для электронов, находящихся в зоне проводимости и обладающих энергией , в функции распределения Ферми-Дирака экспоненциальный член будет намного больше единицы, поэтому

(2.58)

Таким образом, в невырожденном полупроводнике носители заряда подчиняются статистике Больцмана. В соответствии с этим интеграл Ферми запишется в виде:

(2.59)

Равновесные концентрации электронов n₀ и дырок p₀ для случая невырожденного полупроводника соответственно равны (рис. 2.7 (А), рис. 2.8):

(2.60)

(2.61)

Физический смысл параметров N_c и N_v – плотность состояний в зоне проводимости и валентной зоне. Формулы для N_c и N_v определяют пределы заполнения энергетических уровней вблизи дна зоны проводимости и валентной зоны.

Зная концентрацию свободных носителей заряда можно оценить положение уровня Ферми в запрещенной зоне. Для полупроводника n-типа проводимости при комнатной температуре эту зависимость можно записать в виде:

(2.61а)

или	-1<η<5	или
Рис. 2.7. Зависимость концентрации электронов проводимости n0 от положения приведенного уровня Ферми.
Рис. 2.8. Зонная диаграмма, плотность состояний, распределение Ферми-Дирака и концентрация носителей заряда в собственном (а), донорном (б) и акцепторном (в) полупроводниках при термодинамическом равновесии.

Если уровень Ферми совпадает с дном зоны проводимости (т.е. E_F = E_C), тогда из формулы 2.60 следует, что n_o=N_C. Т.е. при легировании полупроводника донорной примесью до концентрации n_o ~ N_C - уровень Ферми приближается к краю запрещенной зоны (аналогично – для легирования акцепторной примесью). Полупроводник является вырожденным, если уровень Ферми расположен вблизи границ разрешенной зоны (в интервале ± несколько kT от E_C или E_V).

В Si при Т=300 К: N_c =2.8*10¹⁹cm^-3 N_v =10¹⁹cm^-3

Второй случай - сильно вырожденный примесный полупроводник(рис. 2.7, область C, рис.2.9.

Донорный полупроводник считается сильно вырожденным при:

(2.62)

т.е. когда уровень Ферми расположен в зоне проводимости по крайней мере на 5 кТ выше Е_c. Условие (2.62) действует и при очень низкой температуре. Если kT à 0, то η₀ à ∞ (здесь η₀ – приведенный уровень Ферми при нулевой температуре). В этом случае в выражении (2.52) знаменатель = 1, а бесконечный верхний предел интегрирования можно заменить η₀. Тогда равновесная концентрация электронов в сильно вырожденном донорном полупроводнике будет равна:

(2.63)

При этом концентрация дырок в сильно-вырожденном полупроводнике n -типа проводимости задается формулой (2.61)!!!

Зная концентрацию свободных носителей заряда можно определить положение уровня Ферми:

(2.63а)

Равновесная концентрация дырок в сильно вырожденном акцепторном полупроводнике запишется следующим образом:

, (2.64)

При этом концентрация электронов находится из соотношения (2.60).

Из равенств (2.63) и (2.64) следует, что концентрация свободных носителей заряда в сильно вырожденном полупроводнике не зависит от температуры. Она определяется положением уровня Ферми и величиной эффективной массы. При этом, чем меньше эффективная масса носителей заряда, тем соответственно и меньше их концентрация, при которой наступает вырождение.

E EF EC ED Eg EV

E     N(E) N(E)

E EF EC   EV F(E)

E EF EC EV n0; p0

Рис. 2.9. Зонная диаграмма, плотность состояний, распределение Ферми-Дирака и концентрация носителей заряда в сильно-вырожденном полупроводнике n- типа проводимости при термодинамическом равновесии.

Третий случай – вырожденный полупроводник (рис. 2.7, область В).

При расположении уровня Ферми вблизи границы зон (зона проводимости/запрещенная зона) -1<η<5, точного (аналитического) выражения для интеграла Ферми-Дирака не существует. В этом случае используют либо табулированные (численно-рассчитанные) значения интеграла Ферми-Дирака, либо применяют полуэмпирические формулы, например, в виде. Тогда зависимость n₀ в зоне проводимости от положения уровня Ферми может быть представлена как:

(2.65)

Вместе с тем, расчет концентрации носителей по формуле (2.65) может давать существенную погрешность, поэтому на практике, как правило, используют специальные таблицы интегралов Ферми-Дирака. Зависимость интеграла Ферми-Дирака F_1/2 от η при расположении уровня Ферми вблизи зоны проводимости в интервале E_C ± 6 kT представлена на рис. 2.6.

Дата добавления: 2014-01-07