Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема Остроградского-Гаусса

Читайте также:
  1. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
  2. Внезапное расширение. Теорема Борда - Карно
  3. Вторая теорема Карно
  4. Вторая теорема Фробениуса
  5. Вычисление ускорения. Теорема Гюйгенса
  6. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения.
  7. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение
  8. Интегральная теорема Лапласа
  9. Интегральная теорема Лапласа
  10. Интегральная теорема Лапласа.
  11. Интегральная теорема Лапласа.
  12. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.



Рассмотрим некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки DSi, определить элементарные потоки DFi поля E через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток F вектора E через замкнутую поверхность S (рис. 1.5.1):

. (1.5.1)

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.

Рис. 1.5.1. Рис. 1.5.2.

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, заключенному внутри этой поверхности. Коэффициент пропорциональности равен 4pk, где k – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

. (1.5.2)

В СИ эта формула имеет вид:

. (1.5.3)

Доказательство.

1. Рассмотрим сначала сферическую поверхность S0 радиуса r, в центре которой находится точечный заряд q (рис. 1.5.2). Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

. (1.5.4)

Тогда поток F0 через сферическую поверхность S0 равен , Þ .

2. Докажем теорему Гаусса для случая точечного заряда q, расположенного внутри произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 1.5.3). Будем называть такую поверхность гауссовой поверхностью. Проведем внутри этой поверхности вспомогательную сферу S0 радиуса R0, в центре которой находится заряд q.

Рис. 1.5.3.

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарный поток ΔF0 через площадку ΔS0 равен

, (1.5.5)

а через площадку ΔS -

, (1.5.6)

где – площадь площадки, выделяемой конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности S на расстоянии r от точечного заряда q.

Обозначим D0 и D¢ - диаметры площадок ΔS0 и ΔS¢. Из подобия соответствующих треугольников следует

. (1.5.7)

Сравнивая выражения (1.5.5) и (1.5.6), и учитывая (1.5.7), получим, что

. (1.5.8)

Откуда следует, что полный поток F электрического поля точечного заряда q через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку F0 через поверхность вспомогательной сферы:

. (1.5.9)

3. Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток F = 0. Такой случай изображен на рис. 1.5.1. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

4. Обобщим теорему Гаусса на случай произвольного заряженного тела или системы точечных зарядов. Такую систему можно представить как систему точечных зарядов qi (i = 1, …, n).



Из принципа суперпозиции следует, что поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Тогда поток F системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Fi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд qi оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный ; если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Замечание. Для доказательства теоремы Гаусса существенны два свойства электрического поля:

1. зависимость кулоновской силы взаимодействия двух точечных зарядов как ;

2. принцип суперпозиции полей.

Для всех взаимодействий, удовлетворяющих обоим перечисленным свойствам, выполняется теорема Гаусса. В частности, она справедлива для гравитационного поля.

 

 





Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 994; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.225.41.203
Генерация страницы за: 0.008 сек.