Уравнение автокаталитической реакции

Рассмотрим уравнение брюсселятора (научная школа нобелевского лауреата И.Р. Пригожина в Брюсселе).

Согласно закону действия масс химическое взаимодействие веществ X и Y, сопровождающееся возникновением третьего вещества Z, условно записывается как X+ Y ® Z.
Скорость изменения концентрации вещества Z пропорциональна произведению концентраций веществ X и Y: Z = k XY, где k - коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент можно принять постоянным, зависящим от размеров молекул, их скорости и др. факторов. Если n молекул вещества X взаимодействуют с одной молекулой вещества Y, то изменение концентрации Z пропорционально X ⁿ´ Y.

A - k1 ^k1 X	Концентрации веществ A и B поддерживаются постоянными. Вещества D и E каким-то способом удаляются, так что концентрации D и E можно считать постоянными. Все внимание можно сосредоточить на тримолекулярной стадии реакции.
B + X -k2 ^k2 Y + D
2X + Y –k3 ^k3 3X
X – k4 ^k4 E

Скоростями обратных реакций –k₁, –k₂, –k₃, –k₄, можно пренебречь по сравнению со скоростями прямых реакций k₁, k₂, k₃, k₄.

A X B + X Y + D 2X + Y 3X X E

Исходные продукты A и B

Конечные продукты E и D

Продукты промежуточных стадий реакции X и Y.

Каждый замкнутый контур, содержащий одно промежуточное вещество, свидетельствует о наличии одной моли этого вещества в соответствующей фазе реакции

d X /dt = A – (B +1) X + X ² Y Система двух нелинейных уравнений

d Y /dt = BX - X ² Y Переменные в уравнении соответству-

ющим образом обезразмерены.

Точки равновесия:

A – (B +1) X + X ² Y = 0 X = A P₀(A, B / A)

BX - X ² Y = 0 Y = B / A

В окрестности P₀(A, B / A):

X = A + x Здесь x и y - отклонения концентраций от

Y = B / A + y равновесных значений.

x¢ = A –(B +1)(A +x)+(A +x)²(B / A +y) = x(B -1)+y(A ²)+x²(B / A)+2xy A +x²y.

y¢ = B (x+ A)-(A +x)²(B / A +y) = - B x - (B / A) x²-y A ² – 2 A xy – x²y/

Для исследования устойчивости используется линейное приближение динамики системы в малой окрестности положения равновесия.

x¢ = x(B -1)+y(A ²) Характеристическое уравнение

y¢ = - B x - y A ² l² + (1+ A ²- B) l + A ² = 0

Концентрации исходных веществ:

A = 1, B – управляющий параметр

Характеристическое уравнение при этих значениях: l² + (2- B) l + 1 = 0

B < 2 P₀ – устойчивый фокус

B > 2 P₀ – неустойчивый фокус

B = 2 рождение цикла (бифуркация Хопфа)

При изменении параметра B (в направлении роста) меняется структура фазового пространства:

Дата добавления: 2014-01-07