Дифференциальные уравнения как математические модели

Дифференциальные уравнения выступают в качестве математических моделей объектов, процессов и явлений, описание динамики которых осуществляется при следующих предположениях:

· объект или процесс однозначно характеризуется конечным набором чисел (фазовых переменных) x₁, x₂,…, x_N.. Пространство, которому принадлежат эти числа, называется фазовым пространством;

· состояние объекта может меняться со временем. Все фазовые переменные зависят только от одной независимой переменной t:
x₁(t), x₂(t),.., x_N(t). Поведение объекта является детерминированным, его состояние зависит только от значений переменных x₁, x₂,…, x_N
в предшествующие моменты времени;

· все фазовые переменные x₁, x₂,…, x_N являются гладкими (дифференцируемыми) функциями независимой переменной t;

· фазовые скорости v₁, v₂,…, v_N , (v_i = x_i¢(t)) могут зависеть только от фазовых переменных x₁(t), x₂(t),.., x_N(t) и времени t, но не от x_i(t-r), ò x_i(t) и пр. Если фазовые скорости v₁, v₂,…, v_N зависят только от x₁, x₂,…, x_N и не зависят явно от времени t, то объект (процесс, явление) ведет себя как автономная система. В противном случае, когда v = v (x,t), система является неавтономной .

Размерность фазового пространства автономной системы совпадает с числом компонент вектора x: N.
Фазовое пространство неавтономной системы имеет размерность
N + 1.
Множество x₁, x₂,…, x_N задает фазовое пространство неавтономной системы, множество x₁, x₂,…, x_N, t – расширенное фазовое пространство системы.

2. Уравнения вида x¢ = F(x)

Это уравнение допускает детальное качественное исследование. Для этого уравнения можно:

· определить все аттракторы;

· доказать, что именно к ним при t®¥ сходятся все траектории;

· указать, при каких начальных данных траектории выходят на определенный аттрактор.

До сих пор мы имели дело именно с такими уравнениями: уравнение математического маятника, уравнение Ресслера, уравнение роста населения Земли.

Нас интересовали установившиеся режимы и асимптотическое поведение решений при t®¥.

Математическим образами установившегося режима является притягательное множество в фазовом пространстве – аттрактор. Аттракторы обладают качественными особенностями.
Одни аттракторы описывают не меняющиеся во времени переменные, другие – периодические или более сложные режимы.
Важно знать число и тип аттракторов.
Важно знать множество начальных данных, с которых происходит выход системы на определенный аттрактор (область притяжения аттрактора).

Эти вопросы рассматривает качественная теория дифференциальных уравнений. Результаты этой теории являются очень общими. Они показывают, что огромное количество нелинейных систем ведет себя одинаковым образом.

Качественный анализ дифференциальных уравнений стал особо актуальным для приложений в 30-е годы в связи с анализом радиотехнических систем. Было установлено, что работа генераторов и ряда других электронных приборов тесно связана с реализацией режимов, описываемых устойчивыми предельными циклами. Возникла теория колебаний [1] ^{, [2]} .

Вблизи аттракторов вид траекторий известен. Вдали от равновесий вид фазовых траекторий может быть сложным. Возникает вопрос об упрощении вида траекторий в фазовом пространстве путем замены фазовых переменных, как на приведенных рисунках.

Найти одну такую замену глобально для всего фазового пространства не удается. Решение такой задачи можно получить только в ограниченной окрестности пространства. Существует теорема о выпрямлении векторного поля в N- мерном фазовом пространстве. Прямое и обратное отображения траекторий вдали от особых точек осуществляются дифференцируемыми функциями и являются взаимно однозначными (диффеоморфизмы ).

Вдали от особых точек все динамические системы локально эквивалентны простейшему дифференциальному уравнению
x¢ = с, y¢ = 0.

Устойчивость особых точек уравнения x¢ = F (x) определяется линейным членом, когда соответствующая производная не равна нулю. Это дает надежду на возможность приведения к каноническому виду и создания классификации. К одному классу можно отнести все динамические системы, которые локально можно привести к одному и тому же каноническому виду.

Всегда интересно анализировать не одно уравнение, а целое семейство динамических систем x¢ = F(x, l) и привести это семейство к каноническому виду в некоторой окрестности фазового пространства и пространства параметров l.
При этом очень важной оказывается идея типичности, грубости, структурной устойчивости (А.А. Андронов, Л.С. Понтрягин).

Смысл этой идеи очень прост. При математическом моделировании различных объектов и процессов мы знаем параметры уравнений с конечной точностью, а сами уравнения являются приближенными.
Естественно потребовать, чтобы математические модели описывались уравнениями, качественные свойства которых не меняются при небольших возмущениях («шевелении») параметров. Реализация идей локального анализа привела к возникновению и развитию таких разделов математики как теория нормальных форм, теория бифуркаций, теория катастроф, играющих важную роль в моделировании нелинейных явлений.

Во многих случаях важно представлять решение не только локально, в малой окрестности точек фазового пространства, но и глобально. Например, важно знать, сколько и каких аттракторов имеет изучаемая система, как может измениться число и тип аттракторов при изменении параметров.

В физике известны законы сохранения непрерывных величин, таких как энергия, импульс, момент импульса.
Наряду с этим известны законы сохранения другого типа.
Могут сохраняться дискретные величины, например, барионный или электрический заряды.
Если в системе рождается барион с зарядом +1, то должен родиться и антибарион с зарядом -1, электрон может рождаться только в паре с позитроном.
Аналогичная этому ситуация имеет место и в уравнении x¢ = F (x). Исследование этой ситуации помогает объяснить идею глобального анализа нелинейных динамических систем.
Можно говорить, что состояние равновесия (F(x_i)=0) обладает топологическим зарядом q, равным -1, если dv(x_i)/dx < 0; +1, если dv(x_i)/dx > 0 и
0, если dv(x_i)/dx = 0.
Сумму топологических зарядов всех положений равновесия системы можно принять за топологический заряд системы. Для всех динамических систем с непрерывной функцией F(x) выполняется утверждение топологический заряд равен нулю.

Более глубокие и содержательные рассуждения, опирающиеся на понятие непрерывности, на возможность анализировать свойства геометрических объектов, сохраняющиеся при непрерывных преобразованиях, легли в основу топологии. А. Пуанкаре считал топологию (геометрию положения) сложным абстрактным разделом анализа. Топологические методы позволили получить важные общие результаты для больших классов нелинейных математических моделей, а также предсказать ряд новых физических явлений.

Дата добавления: 2014-01-07