Производная функции, её геометрический и физический смысл

Функции, непрерывные на отрезке.

Тема: Функции, непрерывные на отрезке. Производная функции, её геометрический и физический смысл.

Лекция № 10

Если функция непрерывная в каждой точке отрезка, то она называется непрерывной на этом отрезке. Рассмотрим в качестве примера функцию, имеющие в некоторых точках разрыв (т.е. нарушение непрерывности).

Пример 1. Исследовать на непрерывностьследующую функцию:. Определим особые точки:. Это точки в которых знаменатель, входящей в функцию дроби обращается в ноль.

Проведём анализ поведения функции в окрестности этих точек:

Если, то в правой окрестности этой точки имеем:;;, тогда вся дробь: в правой окрестности этой точки, но, то в левой окрестности данной точки имеем:. Значит.

Если, то тогда вся дробь:, т.е. в правой окрестности этой точки. Далее рассмотрим поведение функции при:

Аналогично:. Тогда получим следующий схематический рисунок поведения функции в окрестности точек разрыва:

#

Функция называется функцией непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, и в граничных точках его непрерывна слева и справа:,. ()

Теорема 1: (Вейерштрасса)(без доказательства) Если функция, то она ограничена на этом отрезке, т.е..

Теорема 2: (Вейерштрасса)(без доказательства) Если функция, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений:.

Теорема 3: Если функция и имеет различные знаки на концах этого отрезка, то.

Пусть точка движется по прямой линии и функция выражает зависимость пройденного пути от времени. В момент времени точка находится на расстоянии от некоторого начального состояния. В момент точка находится на расстоянии. Средняя скорость точки на промежутке времени равна:

.

Мгновенную или истинную скорость точки в момент времени естественно определить, как предел, к которому стремится при.

Касательная к кривой. Рассмотрим некоторую непрерывную линию Г в плоскости (или пространстве). Пусть точка А–лежащая на ней точка. - другая точка, лежащая на этой же кривой. Прямую линию, соединяющую эти две точки, называем секущей прямой. Будем теперь точку перемещать по кривой линии Г, неограниченно приближаясь к точке. Тогда секущая прямая линия будет вращаться относительно последней точки А. Может случиться, что при этом секущая займёт в пределе вполне определённое положение прямой, которое обозначим Т. Если эта ситуация будет иметь место, то говорят, что линия имеет касательную прямую в рассматриваемой точке А (Рис. 1).

Не всякая непрерывная линия в любой её точке имеет касательную (см. Рис. 2).

Зададим на кривой Г точку, имеющую абсциссу и другую точку. Секущая S, проходящая через точки А и С, очевидно, образует с положительным направлением оси Ox угол:. При вследствие непрерывности функции имеем:. Точка С двигаясь по линии Г будет стремится к (.) А.

Если окажется, что при этом отношение будет стремиться при любом способе стремления к одному и тому же конечному пределу:, то тогда и угол будет стремиться к некоторому отличному от значению. Вместе с и секущая S, вращаясь около (.) А, будет стремиться занять в пределе положение прямой Т, проходящей через точку А под углом, равным к оси Ox. Но тогда прямая Т есть касательная к линии Г в точке А и:.

Т.о. мы установили, что если отношение при стремится к конечному пределу, то линия Г имеет в (.) А касательную, тангенс угла наклона которой к положительному направлению оси Ox равен этому пределу.

Физический смысл производной: допустим, что известна функция, выражающая количество электричества, прошедшего через фиксированное сечение проводника за время. За период времени от до через сечение протекает количество электричества. Средняя сила тока при этом равна:. Далее, если, то, т.е.. Итак, производной от функции, заданной на некотором интервале в точке, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, т.е. при.

, ещё возможные обозначения: и т.д.

Тангенс угла между касательной к кривой, описываемой функцией в точке с абсциссой и положительным направлением оси, равен значению.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Дата добавления: 2014-01-07