Производная суммы, произведения, частного

1. Пусть.

Рассмотрим приращение функции:

Рассмотрим:

2. Пусть

Рассмотрим:

Тогда

Переходя к пределу, получим:.

3. Пусть

Рассмотрим:. Тогда

Далее, переходя к пределу, получим:, т.к. при приращение также.#

Функцияназывается дифференцируемой в точке, если её приращение может быть представлено в виде:, где А– некоторое число, не зависящее от, – б.м. функция при.

Теорема 1: Функция дифференцируема в точке в этой точке производная.

Доказательство:

П. функция –дифференцируема в точке, тогда по определению: или:, где –б.м. функция при. Но это означает, что разность, т.е., т.е..

П., тогда отношение или #

Теорема 2: Если функция –дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть –дифференцируема в точке, тогда (по предыдущей теореме), откуда следует, что, что означает непрерывность функции в точке. #

Замечание: Обратное утверждение не верно: (пример: в точке функция не имеет производной)

Теорема 3: Пусть функция – дифференцируема в точке, функция –дифференцируема в точке, тогда сложная функция: –дифференцируема в точке и верно равенство:.

Доказательство:

Пусть –приращение аргумента в точке, тогда ему соответствует приращение функции в точке, последнему приращению соответствует приращение:

, тогда рассмотрим отношение:

, далее, переходя к пределу при (а значит при), получим:, где последний предел равен нулю по определению б.м. функции при. Т.о. получаем:. #

Рассмотрим: функцию, – непрерывную на интервале, строго монотонную на нём. Пусть интервал –есть образ интервала. Тогда можно определить обратную функцию к функции:.

Рассмотрим значения аргумента: и, которым соответствуют значения функции: и такие, что:, аналогично:. Вследствие непрерывности прямой и обратной функций, для указанных имеет место:. Тогда верна следующая теорема:

Теорема 4: Пусть функция имеет производную:, тогда функция также имеет в соответствующей точке производную, причём:.

Доказательство:

Рассмотрим:, причём если, то и и наоборот. Тогда получим:, но т.к., то получаем требуемое утверждение: #

Замечание: Может случиться, что в рассматриваемой точке обратная функция имеет значение производной, равное бесконечно большому значению. В этом случае, обратное значение функции имеет бесконечно малое значение и наоборот (с учётом знака производной).

Примеры нахождения некоторых производных

для элементарных функций (см. таблицу)

1.;.

2.;

3.; т.к., тогда имеем:

, т.к., если.

4. Аналогично показывается результат вычисления производной от функции.

5. При вычислении производной функции используется правило дифференцирования частного и известные результаты (см. п. 3,4)

6. Аналогично для функции.

7.; Рассмотрим:

Т.о.

8.; ()

Используем понятие производной обратной функции:.

9.; Аналогично, используя производную обратной функции, получим: (), т.к..

10. Аналогично для функции. И т.д.

Дата добавления: 2014-01-07