Общие положения теории переходных процессов в линейных цепях

ЧЕБОКСАРЫ 2003

Конспект лекций

СОДЕРЖАНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1

Общие положения теории переходных процессов в линейных цепях…3

Классический метод расчета переходных процессов………….………..5

Примеры расчета переходных процессов в цепях первого порядка……7

Примеры расчета переходных процессов в цепях второго порядка….…10

Расчет цепей при некорректных начальных условиях…………………..15

Особенность расчета переходных процессов классическим методом в цепях со взаимной индуктивностью………………………………………17

ЛЕКЦИЯ 2

Операторный метод расчета переходных процессов……………………..18

Свойства преобразования Лапласа………………………………………...21

Операторные схемы замещения элементов цепи…………………………22

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме…………………………...22

Примеры расчета переходных процессов операторным методом……….24

ЛЕКЦИЯ 3

Модификации методов расчета переходных процессов

Комбинированный метод…………………………………………………...30

Метод сведения к нулевым начальным условиям (случай замыкания)…32

Метод сведения к нулевым начальным условиям (случай размыкания)..35

ЛЕКЦИЯ 4

Метод переменных состояния……………………………………………...37

Составление уравнений состояния………………………………………...37

Аналитическое решение уравнения состояния…………………………...38

Численное решение уравнения состояния (явный метод Эйлера)………40

ЛЕКЦИЯ 5

Линейные электрические цепи при импульсных воздействиях

Расчет реакции цепи на одиночный импульс воздействия (метод наложения)…………………………………………………………………..42

Расчет реакции цепи на периодическое импульсное воздействия (метод сопряжения интервалов)…………………… ……………………………...43

Расчет переходных процессов в цепях с периодической коммутацией (метод припасовывания)……………………………………………………45

ЛЕКЦИЯ 1

В электрических цепях могут происходить события, приводящие к изменениям параметров или в топологии схемы. Такие изменения называются коммутациями. Примером коммутации могут быть:

подключение (отключение) источника;

короткое замыкание в какой-либо ветви;

резкое изменение амплитуды или фазы источника.

На схемах для обозначения коммутации используют ключевой элемент с указанием стрелочкой вида коммутации (замыкание, размыкание) и момента времени.

Ключ считается идеальным элементом. Сопротивление ключа в открытом состоянии принимается равным нулю, а закрытом – бесконечности. Время коммутации есть бесконечно малая величина, то есть переход из одного состояния в другое происходит мгновенно.

Момент коммутации является границей между, так называемыми, до коммутационным (предшествующим) и переходным процессами (ПП). Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, но на практике это время считают конечным в силу затухающего характера переходного процесса. Во время переходного процесса электрическая величина стремится к некоторому установившемуся значению, по достижению которого с точностью до 99%, переходный процесс считают закончившимся. Дальнейшее состояние цепи называют установившимся процессом.

Рис. 1.1

Учет переходных процессов при проектировании и эксплуатации электротехнических устройств, как правило, обязателен. Например, в момент пуска двигателя в его обмотках могут возникать пусковые токи в несколько раз превышающие номинальные токи. Возможны в цепях и коммутационные перенапряжения, способные вызвать пробой изоляции, и как следствие, короткое замыкание.

Расчет переходных процессов основывается на решении (интегрировании) дифференциального уравнения, которым искомая величина (ток, напряжение, потокосцепление, заряд) связана с независимой переменной t – временем. Это уравнение получается из системы интегро-дифференциальных уравнений, которыми можно описать цепь по законам Кирхгофа. Оно называется линейным обыкновенным неоднородным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами вида

(1.1)

Для его однозначного разрешения должны быть определены n начальных условий (НУ) (1.2), которым удовлетворяют постоянные интегрирования:

(1.2)

Из теории дифференциальных уравнений мы знаем, что решением уравнения (1.1) является сумма его частного решения для и общего решения однородного дифференциального уравнения вида

(1.3)

Частное решение уравнения (1.1) называют установившейся или “принуждённой” составляющей, а решение уравнения (1.3) называют свободной составляющей

(1.4)

Ток свободной составляющей переходного процесса обусловлен разницей энергий реактивных элементов до коммутации и в установившемся режиме. Ток принужденной составляющей обусловлен действием источников в цепи после коммутации.

Пример составления ОДУ с помощью уравнений Кирхгофа и компонентных уравнений.

Рис. 1.2

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.

Своему названию метод расчета ПП обязан названию метода решения дифференциального уравнения. Рассмотрим этапы метода.

1. Выбираем положительные направления токов в ветвях схемы.

2. Записываем искомую величину как сумму свободной и установившейся составляющих .

3. Любым известным методом расчитываем установившийся режим в цепи после коммутации.

4. Находим свободную составляющую:

4.1. Составляем характеристическое уравнение.

;

Есть два способа составления характеристического уравнения:

а) на основе алгебраизации однородного уравнения (1.3), т.е. путём замены ;

б) на основе составления операторного сопротивления цепи после коммутации, т.е. для цепи в ветвях, которой возникнут переходные токи. Правило нахождения операторного сопротивления:

1. В цепи после коммутации делается замена источники ЭДС заменяются закороткой, ветви с источниками тока разрываются.

2. Для точки разрыва в любой ветви находится операторное сопротивление (как правило, целесообразнее “рвать” там, где ищется ток).

Пример

Рис. 1.3.

Из входного операторного сопротивления получаем характеристическое уравнение

4.2. Находим корни характеристического уравнения и по их виду записываем общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. общий вид свободной составляющей

, (1.5)

где

n-порядок цепи (кол-во корней характеристического уравнения);

- корни характеристического уравнения;

– постоянные интегрирования;

n_k – кратность к-го корня.

Пусть, для примера, в цепи 10-го порядка получились такие корни характеристического уравнения:

p1=p2=p3, р4=р5, р6, р7, р8, р9=a+jb, р10=a-jb,

тогда общий вид сободной составляющей будет

4.3. Для нахождения n постоянных интегрирования cоставляем систему уравнений:

(1.6)

Значения величин, стоящих в левой части этого уравнения называются зависимыми начальными условиями (ЗНУ), которые находятся с помощью независимых начальных условий (ННУ), уравнений Кирхгофа и компонентных уравнений.

ННУ- это токи в индуктивностях и напряжения на конденсаторах в момент времени непосредственно после коммутации . ННУ могут быть найдены из расчета цепи до коммутации любым известным методом расчета цепей. Для ННУ выполняются законы коммутации, основанные на принципе непрерывности энергии электромагнитного поля. Из этого принципа вытекает, что невозможны скачкообразные изменения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях.

Первый закон коммутации: Потокосцепление и ток в индуктивном элементе в момент коммутации не могут измениться скачком

(1.7)

Второй закон коммутации: Заряд (напряжение) на ёмкости не могут меняться скачком, т.е. заряд (напряжение) непосредственно до коммутации равен заряду (напряжению) непосредственно после коммутации

(1.8)

x(0₊) находится из уравнения по II закону Кирхгофа для контуров, не содержащих индуктивностей или из уравнения по I закону Кирхгофа.

находится из уравнения по II закону Кирхгофа для контуров с одной индуктивностью или продифференцированных уравнений по II закону Кирхгофа для контуров без индуктивностей, или продифференцированных уравнений по I закону Кирхгофа.

находятся аналогично из уравнений по I, II закону Кирхгофа после их дифференцирования.

4.4. Решаем систему линейных уравнений п. 4.3. относительно постоянных интегрирования.

5. Записываем ответ, подставляя найденные постоянные интегрирования в выражение п. 4.2. и строим график.

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТОВ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

Дата добавления: 2014-01-07