Координата точки. Построение точки по ее координатам

Рассмотрим произвольную точку М прямой. Поставим ей в соответствие вектор и число х таким образом:

1) | х | – длина отрезка ОМ, тогда ОМ =||=| х |;

2) х >0, если ­­, т.е. точки М, Е ₁ принадлежат одному лучу [ ОЕ ₁);

х <0, если ­¯, т.е. точки М и Е ₁ принадлежат различным лучам прямой х относительно точки О;

х= 0, если =, т.е. точка М совпадает с точкой О.

Определение 1

Вектор называется радиус-вектором точки М

(1)

Определение 2

Число х в равенстве (1) называют координатой точки М в заданной системе координат и записывают М (х).

Всякому числу х можно поставить в соответствие единственную точку М прямой х, и наоборот, всякая точка М определяется единственным действительным числом х.

Пример 1. Построить точку М (–2).

Рис.1.2.

Решение. . Для построения достаточно указать радиус-вектор точки (рис.1.2.).

Задача 1. Координата вектора

Дано: точки А (х ₁), В (х ₂).

Найти: координату х вектора , т.е. .

Решение. .

Рис.1.3.

.

Тогда ,

откуда . (2)

Координата вектора вычисляется как разность координат конца и начала вектора соответственно.

Задача 2. Вычисление длины отрезка

Дано: точки М ₁(х ₁), М ₂(х ₂) (рис.1.4).

Найти: длину отрезка М ₁ М ₂.

Решение. .

Рис.1.4.

.

Длина отрезка М ₁ М ₂ при любом расположении точек М ₁ и М ₂ может быть определена по формуле:

(3)

Задача 3. Деление отрезка в данном отношении

Определение 3.

Точка М делит направленный отрезок в отношении l, если

(4)

Дано: точки М ₁(х ₁), М ₂(х ₂), М Î М ₁ М ₂, l / l Î R,

Найти: М /

Решение.

Рис.1.5.

Рассмотрим радиус-векторы точек (рис.1.5): .

Выразим радиус-вектор точки М: .

Если , т.е. , то (5)

По свойству координат вектора: .

Откуда

. (6)

Разделить отрезок М ₁ М ₂, где М ₁(х ₁) – первая точка, М ₂(х ₂) – вторая точка, в данном отношении l () – значит, на прямой М ₁ М ₂ найти такую точку М (х), для которой выполняется соотношение: .

Задача имеет решение при всех . Точка М принадлежит отрезку М ₁ М ₂, если l >0, и лежит вне отрезка М ₁ М ₂, если l <0. В первом случае будем говорить, что точка М делит отрезок М ₁ М ₂ внутренним образом, во втором – внешним образом.

Если выразить l по известным координатам точек М ₁, М ₂, М, то

. (7)

Задача 4. Вычисление координаты середины отрезка

Рассмотрим формулу (4). Так как М – середина отрезка, то , т.е. . Подставив в (6) получим:

. (8)

Координата середины равна полусумме координат его концов.

Дата добавления: 2014-01-07