Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Рекуррентные соотношения

Читайте также:
  1. Итерационные и рекуррентные последовательности

Рекуррентным соотношением, рекуррентным уравнением или рекуррентной формулой называется соотношение вида , которое позволяет вычислять все члены последовательности , если заданы ее первые k членов.

Пример 1.

1. Формула задает арифметическую прогрессию.

2. Формула определяет геометрическую прогрессию.

3. Формула задает последовательность чисел Фибоначчи.

В случае, когда рекуррентное соотношение линейно и однородно, т. е. выполняется соотношение вида

(1)

(p=const), последовательность называется возвратной. Многочлен

(2)

называется характеристическим для возвратной последовательности . Корни многочлена называются характеристическими.

Множество всех последовательностей, удовлетворяющих данному рекуррентному соотношению, называется общим уравнением.

Описание общего уравнения соотношения (1) имеет аналоги с описанием решения обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Теорема 1.1.Пусть - корень характеристического многочлена (2). Тогда последовательность , где c – произвольная константа, удовлетворяет соотношению (1).

2. Если - простые корни характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного соотношения (1) имеет вид , где - произвольные константы.

3. Если - корень кратности характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного соотношения (1) имеет вид , где- произвольные константы.

Зная общее решение рекуррентного уравнения (1), по начальным условиям, можно найти неопределенные постоянные и те самым получить решение уравнения (1) с данными начальными условиями.

Пример 2. Найти последовательность , удовлетворяющую рекуррентному соотношению и начальным условиям .

Корням характеристического многочлена являются числа . Следовательно, по теореме 3.1. общее решение имеет вид . Используя начальные условия, получаем систему

решая которую, находим и . Таким образом, .

Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное уравнение

(3)

Пусть - общее решение однородного уравнения (1), а - частное (конкретное) решение неоднородного уравнения (3). Тогда последовательность образует общее решение уравнения (3), и тем самым справедлива.

Теорема 2.Общее решение неоднородного линейного рекуррентного уравнения представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного линейного рекуррентного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения.

Таким образом, в силу теоремы 1. задача нахождения общего решения рекуррентного уравнения (3) сводится к нахождению некоторого частного решения.

В отдельных случаях имеются общие рецепты нахождения общего решения.



Если (где ) не является характеристическим корнем, то, подставляя в (3), получаем и отсюда , т. е. частное решение можно задать формулой .

Пусть - многочлен степени r от переменной n, и число 1 не является характеристическим корнем. Тогда и частное решение следует искать в виде . Подставляя многочлены в формулу (3), получаем

Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях последнего равенства, получаем соотношения чисел , позволяющие эти числа определить.

Пример. Найти решение уравнения

(4)

с начальным условием .

Рассмотрим характеристический многочлен . Так как и правая часть уравнения (3) равна n+1, то частное решение будем искать в виде . Подставляя в уравнение (4), получаем . Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему

откуда находим . Таким образом, частное решение уравнения (4) имеет вид . По теореме 3.1. общее решение однородного уравнения задается формулой , и по теореме 3.2. получаем общее решение уравнения (4): . Из начального условия находим , т. е. . Таким образом, .

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Рекуррентные соотношения

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1382; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.166.150.10
Генерация страницы за: 0.009 сек.